基本介紹
- 中文名：平面幾何
- 外文名：planimetry, plane geometry
- 學術範圍：幾何學
- 幾何雛形：歐幾里得《幾何原本》
- 分類：數學
- 三維空間：立體幾何
概述,公理描述,現代方法,歐氏幾何,四個重要定理,梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）,塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）,托勒密(Ptolemy)定理,西姆松(Simson)定理（西姆松線）,蝴蝶定理,
概述
歐幾里得數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。
其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出“三角形內角和等於一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss,1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是“三角形內角和不一定等於一百八十度”，從而發現非歐幾里得的幾何學，即“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）。
公理描述
《幾何原本》開篇的第一個定理歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：
任意兩個點可以通過一條直線連線。
任意線段能無限延伸成一條直線。
給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。
平行公理並不像其他公理那么顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。
從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理(公設)並不完備。例如，該幾何中的所有定理：任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。
歐幾里得還提出了五個“一般概念”，也可以作為公理。當然，之後他還使用量的其他性質。
1.與同一事物相等的事物相等。
2.相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3.相等的事物減去相等的事物仍然相等。
4.一個事物與另一事物重合，則它們相等。
5.整體大於局部。
現代方法
如今，歐幾里得幾何的構造通常不是通過公理化方法，而是通過解析幾何。通過這種方法，可以像證明定理一樣證明歐幾里得幾何（或非歐幾里得幾何）中的公理。這一方法沒有公理方法那么漂亮，但絕對簡練。
歐氏幾何
歐幾里德的《幾何原本》，一開始歐幾里德就給出了23個定義，5個公設，5個公理。其實他說的公設就是我們後來所說的公理，他的公理是一些計算和證明用到的方法（如公理1：等於同一個量的量相等，公理5：整體大於局部等）他給出的5個公設倒是和幾何學非常緊密的，也就是後來我們教科書中的公理。分別是：
公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線
公設2：一條有限線段可以繼續延長
公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓
公設4：凡直角都彼此相等
公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。
在這五個公設理里，歐幾里德並沒有幼稚地假定定義的存在和彼此相容。亞里士多德就指出，頭三個公設說的是可以構造線和圓，所以他是對兩件東西存在性的聲明。事實上歐幾里德用這種構造法證明很多命題。第五個公設非常囉嗦，沒有前四個簡潔好懂。聲明的也不是存在的東西，而是歐幾里德自己想的東西。這就足以說明他的天才。從歐幾里德提出這個公理到1800年這大約2100年的時間裡雖然人們沒有懷疑整個體系的正確性，但是對這個第五公設卻一直耿耿於懷。很多數學家想把這個公設從這個體系中去掉，但是幾經努力而無果，無法從其他公設中推導出第五公設。
同時數學家們也注意到了這個公設既是對平行概念的論述（故稱之為平行公理）也是對三角形內角和的論述（即內角和公理）。高斯對這一點是非常明白的，他認為歐幾里德幾何是物質空間的幾何，1799年他給他的朋友的一封信中表現了他相信平行公理不能從其他的公設中推導出來，他開始認真從事開發一個新的能夠套用的幾何。1813年，他發展了他的幾何，最初稱為反歐氏幾何，後稱星空幾何，最後稱非歐幾何。在他的幾何中三角形內角可以大於180度。當然得到這樣的幾何不是高斯一人，歷史上有三個人。一個是他的搭檔，另一個是高斯的朋友的兒子獨立發現的。其中一個有趣的問題是，非歐氏幾何中過直線外一點的平行線可以無窮。
不久之後，俄國的一位著名數學家也發現了一個新的非歐幾何，即羅氏幾何。他的三角形內角和是小於180度的。
而19世紀初非歐式幾何的發現，正是後來愛因斯坦發現廣義相對論的基礎。
四個重要定理
梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）
（BA'/A'C）·（CB'/B'A）·（AC'/C'B）= 1
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）
△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點A'、B'、C'，則AA'、BB'、CC'三線平行或交於一點的充要條件是
BA'/A'C·CB'/BA'·AC'/C'B=1
托勒密(Ptolemy)定理
四邊形的兩對邊乘積之和等於其對角線乘積的充要條件是該四邊形內接於一圓。
西姆松(Simson)定理（西姆松線）
蝴蝶定理
設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。
證明：
過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，
連線ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
∴ES/CS=ED/FC
根據垂徑定理得：LD=ED/2，FT=FC/2
∴ES/CS=EL/CT
又∵∠E=∠C
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中點所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）
同理，O，T，M，S四點共圓
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
