基本介紹
作者介紹,目錄,背景知識,內容理解,語言品味,有關資料,
作者介紹
齊民有 1930年出生，安徽人，1952年畢業於武漢大學數學系，一直在武漢大學數學系工作，歷任數學系教師，博士生導師，曾獲1987年自然科學獎四等獎，曾任武漢大學校長，國務院學位委員會數學組成員，中國數字會副理事長。
數學與文化
數學與文化--------------------------------------------------------------------------------
目錄
緒言
一 理性的覺醒
1．1 希臘的幾何學
1．2 歐幾里得的《幾何原本》
1．3 數學與第一次科學革命
1．4 歐幾里得與理性時代
1．5 希爾伯特的《幾何基礎》
二 數學反思呼喚著暴風雨
2．1 絕對幾何學與歐幾里得幾何
2．2 非歐幾何的發現
2．3 羅巴契夫斯基幾何內容的簡單介紹
2．4 數學——人類悟性的自由創造物?
2．5 羅氏幾何的相容性
2．6 關於數學基礎
2．7 數學的“失樂園”
——哥德爾定理意味著什麼?
三 “我從一無所有之中創造了一個新宇宙”
3．1 彎曲的宇宙
3．2 相對論——牛頓的時空的終結
3．3 無盡的探索
結束語
背景知識
這篇課文節選自《數學與文化》一書的緒言。作者齊民友，1930年生，安徽蕪湖人，數學教授，曾任武漢大學校長。1988年夏季的一天，作者和幾位朋友談到數學時，提出了“一個沒有現代數學的文化是注定要衰落的”觀點。後來，作者又為哲學系學生講數學課，更加全面系統地研究了數學文化的特點以及數學對於人類文化的影響。課文節選的部分，體現了作者的一些主要觀點。
數學是研究數與形的科學，它來源於生產，服務於生活，並不是空中樓閣。在古代埃及，尼羅河定期泛濫，重新丈量土地的需要發展了幾何學；在古代中國，發達的農業生產及天文觀測的需要，也促進了數學的發展。數學與社會文化始終是密切相關的。據說，兩千多年前，柏拉圖學園的門口掛著一塊牌子，寫著：“不懂幾何的人不得入內。”柏拉圖本人就曾做過一次題為“善的概念”的講演，切實地探討過“數學與文化”的問題。他認為，數學與倫理學中的“善”在理想化方面是相同的，用筆畫出來的點、線、面都是一種抽象，因而也是一種理想。柏拉圖之後的兩千多年，即1939年12月，英國數學家、哲學家懷特海在美國哈佛大學作了一次講演，題為“數學與善”，重申了柏拉圖的思想，認為只有人類的智力才能“從實例中抽象出某一類型東西來。人類這個特性的最明顯的表現就是數學概念和善的理想”。可見，數學並不是一棵傲然孤立的大樹。它是在人類的物質需求和精神生活影響下生長起來的，同時它也以自己獨特的魅力對人類文化的不同領域產生深遠影響。
內容理解
在當代社會，探討數學與文化的關係問題，一般公眾可能會有更多的陌生感和畏懼心理。因為現代數學的發展，畢竟遠離了普通人的生活視野和經驗，變得越來越抽象。如果不從人類文化的高度來認識這個問題，很難激發起人們的興趣。作者在第1段中正是選取了這樣一個切入點，大聲疾呼：“請注意，數學也是文化的一部分。”然後，由淺入深地概括了數學在現代自然科學中的基礎學科地位：數學首先是一種科學的語言和工具，也是“科學革命的旗幟”。理解第一點似乎不難，因為這差不多已融入現代人關於數學的模糊的認識中；但理解第二點，則需要對近現代科學史有一定的了解，作者在後文中也著重列舉了這方面的例子。
課文的2～5段是主體部分，主要講了數學文化的以下三個特點：
第一，數學“追求一種完全確定、完全可靠的知識”。這是從數學學科本體方面來論述的。請注意這裡所用的修飾、限定詞語“完全確定”“完全可靠”，這正是數學有別於其他知識之處。作者舉的“三角形內角和為180°”的例子，是初學平面幾何必學的內容，淺近易懂。然而作者並沒有就事論事，而是進一步在更深層的社會文化背景中來論述數學的這一特點，從古希臘的文化背景中來思考問題。古希臘的智者由於堅信這個世界是可以理解的，並可以用永恆的法則來表述它，才發展了數學精神，也強化了用演繹的形式進行嚴密推理的“邏輯方法”，這就保證了數學成為一門確定可靠的知識。
第二，數學的簡單性、深刻性、統一性。這是從數學學科與其他學科的關係，即作為一種科學語言方面來論述的。這種理念也根植於古希臘科學哲學思想，並越來越為近現代科學發展的歷史所證明。所謂簡單性，是指大千世界紛繁的表象可以用很簡單的定律來解釋。像牛頓的萬有引力定律（物體間由於質量而引起的相互吸引力的基本定律），既可以解釋蘋果落地，也可以解釋行星運動；所謂深刻性，是指數學可以找出物質世界的一些終極答案，如愛因斯坦的著名公式E=mc2，就揭示了質量（m）和能量（E）的相當性；所謂統一性，是指數學可以對不同的物質現象作綜合的解釋，如麥克斯韋方程組就統一了關於電和磁的理論。
第三，數學可以自我反思、自我完善。數學發展的歷史，就是在不斷探索中逐步完善的歷史。很多概念從無到有，許多方法從舊到新。到了現代，數學更對自己的科學體系進行了一系列反思。最有代表性的事件是1900年德國數學家希爾伯特在巴黎第二屆國際數學大會上所作的“數學問題”的講演，他根據19世紀數學研究的狀況，對各類數學問題的意義和研究方法作了精闢的闡述，並提出了23個數學問題，涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀的數學發展，數學史上稱之為“希爾伯特數學問題”。
課文6～8段，作者簡單論述了數學對其他人類文化和對人類精神生活的影響。首先肯定數學對其他學科的支持作用，讚美“數學是人類理性發展最高的成就”，然後從“促進了人的思想解放”和“表達了一種探索精神”兩個方面闡述數學文化對人類進步的貢獻。在西方，科學發展的歷史，就是與宗教抗爭的歷史，就是反蒙昧、反專制的歷史。在這中間，數學以它的確實和完美，起到了主要的作用，並最終逐出了在自然科學領域同樣居於統治地位的上帝。促進人的思想解放，可以說是數學探索精神最值得驕傲的勝利。
課文結語，作者滿懷激情地提出了他思索已久的中心論點：“一種沒有相當發達的數學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。”這是發人深省的議論。
語言品味
這篇文章在語言上有以下幾個特點值得我們注意。
1．準確
數學作為一門科學，本身就是以邏輯謹嚴著稱的。作者在闡述數學文化時，語言上也表現出同樣的風格。如在談數學的確定性、可靠性時，舉“三角形內角和為180°”的例子，前面加上“歐幾里得平面上的”作為限定語，就更加嚴密。因為在非歐幾何中，這樣的命題就不成立。非歐幾何是一種不同於歐氏幾何學的幾何體系，一般指羅巴切夫斯基的雙曲幾何和黎曼的橢圓幾何。在前者中，三角形的內角和小於180°；在後者中，三角形的內角和大於180°。
2．生動
無論數學文化或它所涉及的理念有多么艱深，作者總是力求用生動活潑的語言來闡釋，使文章更加通俗易懂。如第5段幾乎全用擬人式的自問形式，來反思數學文化自身的問題；第6段把數學比作“一株參天大樹”，還說“在它的樹幹上有越來越多的鳥巢”，形象地說明了數學作為一門科學的強大和它對其他科學的影響。
3．流暢
本文所探討的問題，是作者經過長期積累、深思熟慮的，因而在論述的過程中充滿激情，筆力雄健，氣勢飛動，縱橫馳騁無所不宜。作者有時用敘述的語句作嚴格的判斷，有時用疑問的語氣引起注意，有時用並列的短語作鋪排， 有時用層進的長句進行推論， 揮灑自如， 議論風生，增強了文章的感染力。
有關資料
一、希臘古代數學（梁宗巨）
古希臘的地理範圍，除了現在的希臘半島以外，還包括整個愛琴海區域和北面的馬其頓和色雷斯、義大利半島和小亞細亞等地。公元前五六世紀，特別是希、波戰爭以後，雅典取得希臘城邦的領導地位，經濟生活高度繁榮，生產力顯著提高，在這個基礎上產生了光輝燦爛的希臘文化，對後世有深遠的影響。
希臘數學的發展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約當公元前7世紀中葉到公元前3世紀；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年希臘陷於羅馬為止；第三期是亞歷山大後期，是羅馬人統治下的時期，結束於641年亞歷山大被阿拉伯人占領。
伊奧尼亞學派從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數學史料很少。不過希臘數學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關係。伊奧尼亞位於小亞細亞西岸，它比希臘其他地區更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統治所代替，商人具有強烈的活動性，有利於思想自由而大膽地發展。城邦內部的鬥爭，幫助擺脫傳統信念。在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助於科學和哲學從宗教中分離開來。
畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯公元前580年左右生於薩摩斯（今希臘東部小島）。為了擺脫暴政，移居義大利半島南部的克羅頓。在那裡組織一個政治、宗教、哲學、數學合一的秘密團體。後來在政治鬥爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續存在兩個世紀（約公元前500～前300）之久。這個學派企圖用數來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數，而且說萬物都是數。他們以發現勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名於世，又由此導致不可通約量的發現。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯繫起來。他們找到用三個正整數表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從1起連續的奇數和必為平方數等等，這既是算術問題，又和幾何有關。他們還發現五種正多面體。在天文方面，首創地圓說，認為日、月、五星都是球體，浮懸在太空中。畢達哥拉斯還是音樂理論的始祖。
伊奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數學並不單純為了哲學的興趣，同時也為了實用。而後者卻不注重實際套用，將數學和宗教聯繫起來，想通過數學去探索永恆的真理。
智人學派公元前5世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學等知識，於是“智人學派”（sophist school,或譯巧辯學派、哲人學派）應運而生。他們以教授文法、邏輯、數學、天文、修辭、雄辯等科目為業。在數學上，他們提出“三大問題”：①三等分任意角；②倍立方，即求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；③化圓為方，即求作一正方形，使其面積等於一已知圓。問題的難處，是作圖只許用直尺（沒有刻度的尺）和圓規。希臘人的興趣並不在於圖形的實際作出，而是在尺規的限制下從理論上去解決這些問題。這是幾何學從實際套用向系統理論過渡所邁出的重要的一步。這個學派的安提豐（約公元前430）提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以後每次邊數加倍，得8，16，32、……邊形，這樣繼續下去，安提豐深信“最後”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽（約263年前後）的割圓術思想不謀而合。
柏拉圖學派及其他學術中心柏拉圖（約公元前427～前347）在雅典建立學派，創辦學園。他非常重視數學，但片面強調數學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中。這個學派培養出不少數學家，如歐多克索斯就曾就學於柏拉圖，他創立了比例論，是歐幾里得的前驅。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日後將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開闢了道路。
這個時期的希臘數學中心還有以芝諾（約公元前496～前430）為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術界以極大的震動。這四個悖論是：①二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步。②阿基琉斯（善跑英雄）追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜的出發點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重複下去，總也追不上。③飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。④運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。
以德謨克利特為代表的原子論學派，認為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等於將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數學家發現新結果的重要線索。
公元前4世紀以後的希臘數學，逐漸脫離哲學和天文學，成為獨立的學科。數學的歷史於是進入一個新階段──初等數學時期。這個時期的特點，是數學（主要是幾何學）已建立起自己的理論體系，從以實驗和觀察為依據的經驗科學過渡到演繹的科學。由少數幾個原始命題（公理）出發，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數學的基本精神。在這一時期里，初等幾何、算術、初等代數大體已成為獨立的科目。和17世紀出現的解析幾何學、微積分學相比，這一個時期的研究內容可以用“初等數學”來概括，因此叫做初等數學時期。
埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經過托勒密王（約公元前367～前285）的加意經營，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時已經退居次要地位。幾何學最初萌芽於埃及，以後移植於伊奧尼亞，其次繁盛於義大利和雅典，最後又回到發源地。經過這一番培植，已達到豐茂成林的境地。
亞歷山大前期從公元前4世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區域的統治者為止，希臘數學以亞歷山大為中心，達到它的全盛時期。這裡有巨大的圖書館和濃厚的學術空氣，各地學者雲集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數學家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。
歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。過去所積累下來的數學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有藉助於邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯繫，整理在一個嚴密的系統之中，才能建成宏偉的大廈。《幾何原本》體現了這種精神，它對整個數學的發展產生深遠的影響。阿基米德是物理學家兼數學家，他善於將抽象的理論和工程技術的具體套用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。
除了三大數學家以外，埃拉托斯特尼（約公元前276～前195）的大地測量和以他為名的“素數篩子”也很出名。天文學家喜帕恰斯（公元前2世紀）製作“弦表”，是三角學的先導。
亞歷山大後期公元前146年以後，在羅馬統治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，不斷有所發明。海倫（約公元62）、門納勞斯（約公元100）、帕普斯等人都有重要貢獻。天文學家C．托勒密（約85～165）將喜帕恰斯的工作加以整理髮揮，奠定了三角學的基礎。
晚期的希臘學者在算術和代數方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯（約公元100）和丟番圖（約250）。前者是傑拉什（今約旦北部）地方的人。著有《算術入門》，後者的《算術》是講數的理論的，而大部分內容可以歸入代數的範圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數學中獨樹一幟，對後世影響之大，僅次於《幾何原本》。
325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統治的工具，把一切學術都置於基督教神學的控制之下。529年，東羅馬帝國皇帝查士·丁尼下令關閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數學研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領，圖書館再次被毀，希臘數學至此告一段落。
（選自《中國大百科全書·數學卷》，中國大百科全書出版社1998年版）
二、數學促進人類思想解放（齊民友）
從歷史上看，數學促進人類思想解放大約有兩個階段。第一個階段從數學開始成為一門科學直到以牛頓為最高峰的第一次科學技術革命。不妨說，在這個時期中，數學幫助人類從宗教和迷信的束縛下解放出來，從物質上、精神上進入了現代世界。這一階段開始於人類文化開始萌芽的時期。在那時，儘管不少民族都有了一定的數學知識的積累，數學還沒有形成一門科學。數學的作用主要是為解決人類的物質生活的具體問題服務的。人類剛從蒙昧中覺醒。迷信、原始宗教還控制著人類的精神世界。三大宗教的出現還是比較晚的事了。在遠古的一些民族中，數學對人類的精神生活的影響還只表現在卜卦、占星上，成為“神”與人之間溝通的工具。一直到了希臘文化的出現，開始有了我們現在所理解的數學科學，其突出的成就就是歐幾里得幾何學。它的意義是：在當時的哲學理論的影響與推動下，第一次提出了認識宇宙的數學設計圖的使命，第一次提出了人的理性思維應該遵循的典範。由於當時世界各部分相對地比較隔絕，這個數學文化影響所及大抵還只是地中海沿岸。希臘衰落，羅馬人取而代之，這個文化的影響也逐漸轉向東羅馬和阿拉伯人的地區。歐洲逐漸進入黑暗的中世紀。到新的生產關係開始出現，人類需要一種新文化以與當時占統治地位的天主教相對抗，希臘文化又被復活了起來，形成所謂“文藝復興”（這當然不會是原來的希臘文化）。數學直接繼承了希臘的數學成就，終於成了當時科學技術革命的旗幟。它的主題仍然是“認識宇宙，也認識人類自己”。它與宗教的矛盾日益深刻，儘管有宗教裁判所和它的酷刑，上帝的地位還是逐漸被貶低了。到了牛頓時代，當時的科學技術革命達到了頂峰，而上帝的地位也下降到了低谷。牛頓的自然神論離徹底的無神論只有一步之遙。人的地位上升了。他憑藉著理性旗幟要求成為大自然的統治者。當時的技術革命，其科學基礎是牛頓力學，而從文化思想上說，其實是機械師和工匠的革命。人對大自然的“統治”，也只是一個工匠認識了一部大機器，開動了這一部大機器，並且局部地模仿與複製這部大機器。但是這個工匠仍時而打著上帝的旗號。人儘管要求以自己的理性來重新安排人類自己的生活，但人對自己的看法，以拉美特利（Lamettrie,Juliende,1709—1751，法國機械唯物論哲學家）的口號為標誌也就是“人是機器”。機械唯物論的決定論，是當時的科學技術革命的指導思想，而數學是它的最主要的武器。當時數學的發展以微積分的出現為其最高峰，在這個時期確實取得了極其輝煌的勝利。由希臘起源的這個文化，現在從地域上說已成了全世界的文化。這是因為資本主義把我們的地球變成了一個世界，而資本主義的文化也日益成了全世界的文化。作為它的一個重要組成部分的數學也就不再只是希臘的數學，而成為全人類的數學文化。其他民族例如中國，儘管在數學上有過燦爛的成就，現在其影響和作用比這個新的、全人類的數學，也就瞠乎其後，不能相比了。有一些民族的成就被吸收到這個新的全人類的數學中，甚至起了極其重要的作用，特別是印度和阿拉伯的數學是如此；有一些就成了歷史的陳跡了。對於中國人來說，重要的不是在歷史的豐碑面前憑弔懷古，而是奮起直追。明末清初，先進的中國人開始理解這一點。徐光啟開始翻譯歐幾里得的《幾何原本》，康熙皇帝親自主編過堪稱為中國的《幾何原本》的《數理精蘊》，都表明中國人正在開始腳踏實地地學習直接由希臘數學發源的新的全人類的數學。總之，這是一次偉大的思想解放運動。從當時世界範圍來看，是人類逐漸從宗教的統治下解放出來。從中國來看，儘管由於歷史的、社會的原因，宗教的思想統治不如當時歐洲之烈，但到了17世紀，資本主義萌芽已經在中國出現，中國人也要求一種新的生產關係及其文化。特別是鴉片戰爭以後，中國人更要求反抗帝國主義的侵略，這樣，自然也要求新的文化。17世紀以後，現代的數學傳入了中國，開始為中國人所接受，並與中國固有的文化相抗衡，成為中國人求解放求富強的思想武器，正是這個歷史潮流的反映。
第二階段由18世紀末算起。到了那時，數學化的物理學、力學、天文學已經取得了驚人的進展。可是人們越來越要求從完全的決定論下解放出來。這裡面有社會、政治的原因，也有文藝、哲學上的反映，我們都不去討論了。但是有一點很明顯，數學的重要性已經不如前一個階段。當時科學發展的最重大的問題是要求用一個發展的觀點，把世界看作一個發展的、進化的、各部分相互聯繫的整體。黑格爾哲學提出唯心主義的辯證法，以一種扭曲的形式回答了這個問題。他認為“絕對觀念”是宇宙的本質，“絕對觀念”在發展過程中“外化”為物質，並且按照由低級到高級的方向，由無機物發展到有機體，有了生命，然後從低級生物發展到高級生物，然後成為人。最後，“絕對觀念”又在人的意識的發展中復歸為自身。黑格爾的自然哲學是他的哲學體系中最薄弱的一環，其原因之一在於當時自然科學的發展提供的基礎所限。馬克思、恩格斯的功績就是在唯物主義的基礎上改造了辯證法，成了辯證唯物主義。這一個發展除了社會的、歷史的背景以外，還有自然科學的基礎。能量的守恆與轉化（與熱機、熱力學的發展相關）、細胞的發現，特別是達爾文的進化論，就是最突出的幾件大事。這樣，數學自然從人們的視野中後退。數學家倒沒有因此而失望，因為他們仍然繼續在為人類做出重大的貢獻，而其意義甚至是他們自己也未曾預料到的。數學家這個時期的工作，一方面是繼續擴展已有的成就，另一方面是向深處進軍。這裡最突出的事例一是非歐幾何的發現，二是關於無限的研究。前者根本改變了我們對空間的本性的認識。後者是由微積分的基礎研究開始的，也說明從希臘時代的芝諾悖論（莊子“天下篇”中講的惠施十辯中的“飛鳥之景，未嘗動也”和芝諾悖論幾乎是完全一樣。可惜的是，這些思想一直停留在抽象的思辨上而沒有具體展開。這當然與數學沒有在中國很好發展有關）所揭示的有限與無限的矛盾是何等深刻。特別是非歐幾何的出現是人類思想一次大革命。它仍然是一種思想解放：這一次是從人自己的定見下解放出來。數學的對象越來越多的是“人類悟性的自由創造物”。這件事引起了多少人對數學的誤解和指責，實際上是人類的一大進步。人在自己的成長中發現，單純憑著直接的經驗去認識宇宙是多么不夠。人既然在物質上創造出了自然界中本來沒有的東西──一切工具、儀器等等──來認識和創造世界，為什麼不能在思維中創造出種種超越直接經驗的數學結構來表現自然界的本來面目呢？數學的這一進步在當時並沒有超出牛頓力學的決定世界觀，但非歐幾何的確從根本上動搖了牛頓的時空觀，為相對論的出現開闢了道路。對數學本身更有深遠意義的是，這兩件大事（非歐幾何的出現和關於無限的研究）導致了對數學基礎的研究，使人類第一次十分具體而嚴格地提出了理性思維能力的界限何在的問題。
現在是否又到了一個新的階段？我們暫時不必去回答。但是十分明顯的是，數學的發展確實給人類的生活開闢了新天地。這不但是指文化思想上，而且也是指物質上。相對論的意義大概誰也不能低估了，如果再加上量子物理（同樣，沒有第二階段的數學的發展以及伴之而來的種種人類悟性的自由創造物，就不可能有量子物理），則現代的物理科學構成當代各種新技術的科學基礎，這是誰也不能否認的事。人們都說下一個世紀將是計算機的世紀，其特徵是人能夠或多或少地模仿或複製人的思維。可是也只是因為數學發展到今天的高度，計算機才可能成為現實。
（選自《數學與文化》，湖南教育出版社1991年版）
三、數學的特點（周金才梁兮）
關於數學所具有的特點，可以把數學和其他學科相比較，這種特點就十分明顯了。
同其他學科相比，數學是比較抽象的。數學的抽象性表現在哪裡呢？那就是暫時撇開事物的具體內容，僅僅從抽象的數方面去進行研究。比如在簡單的計算中，2+3既可以理解成兩棵樹加三棵樹，也可以理解成兩部工具機加三台工具機。在數學裡，我們撇開樹、工具機的具體內容，而只是研究2+3的運算規律，掌握了這個規律，那就不論是樹、工具機，還是汽車或者別的什麼事物都可以按加法的運算規律進行計算。乘法、除法等運算也都是研究抽象的數，而撇開了具體的內容。
數學中的許多概念都是從現實世界抽象出來的。比如幾何學中的“直線”這一概念，並不是指現實世界中的拉緊的線，而是把現實的線的質量、彈性、粗細等性質都撇開了，只留下了“向兩方無限伸長”這一屬性，但是現實世界中是沒有向兩方無限伸長的線的。幾何圖形的概念、函式概念都是比較抽象的。但是，抽象並不是數學獨有的屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性。只是數學的抽象性有它不同於其他學科抽象的特徵罷了。
數學的抽象性具有下列三個特徵：第一，它保留了數量關係或者空間形式。第二，數學的抽象是經過一系列的階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象。從最原始的概念一直到像函式、複數、微分、積分、泛函、n維甚至無限維空間等抽象的概念都是從簡單到複雜、從具體到抽象這樣不斷深化的過程。當然，形式是抽象的，但是內容卻是非常現實的。正如列寧所說的那樣：“一切科學的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然。”（《黑格爾〈邏輯學〉一書摘要》，《列寧全集》第38卷第181頁）第三，不僅數學的概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的。物理或化學家為了證明自己的理論，總是通過實驗的方法；而數學家證明一個定理卻不能用實驗的方法，必須用推理和計算。比如雖然我們千百次地精確測量等腰三角形的兩底角都是相等的，但是還不能說已經證明了等腰三角形的底角相等，而必須用邏輯推理的方法嚴格地給予證明。在數學裡證明一個定理，必須利用已經學過或者已經證過的概念、定理用推理的方法導出這個新定理來。我們都知道數學歸納法，它就是一種比較抽象的數學證明方法。它的原理是把研究的元素排成一個序列，某種性質對於這個序列的首項是成立的，假設當第k項成立，如果能證明第k+1項也能成立，那么這一性質對這序列的任何一項都是成立的，即使這一序列是無窮序列。
數學的第二個特點是準確性，或者說邏輯的嚴密性，結論的確定性。
數學的推理和它的結論是無可爭辯、毋容置疑的。數學證明的精確性、確定性從中學課本中就充分顯示出來了。
歐幾里得的幾何經典著作《幾何原本》可以作為邏輯的嚴密性的一個很好的例子。它從少數定義、公理出發，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系，把豐富而零散的幾何材料整理成了系統嚴明的整體，成為人類歷史上的科學傑作之一，一直被後世推崇。兩千多年來，所有初等幾何教科書以及19世紀以前一切有關初等幾何的論著都以《幾何原本》作為根據。“歐幾里得”成為幾何學的代名詞，人們並且把這種體系的幾何學叫做歐幾里得幾何學。
但是數學的嚴密性不是絕對的，數學的原則也不是一成不變的，它也在發展著。比如，前面已經講過《幾何原本》也有不完美的地方，某些概念定義得不明確，採用了本身應該定義的概念，基本命題中還缺乏嚴密的邏輯根據。因此，後來又逐步建立了更嚴密的希爾伯特公理體系。
第三個特點是套用的廣泛性。
我們幾乎每時每刻都要在生產和日常生活中用到數學，丈量土地、計算產量、制訂計畫、設計建築都離不開數學。沒有數學，現代科學技術的進步也是不可能的，從簡單的技術革新到複雜的人造衛星的發射都離不開數學。
而且，幾乎所有的精密科學、力學、天文學、物理學甚至化學通常都是以一些數學公式來表達自己的定律的，並且在發展自己的理論的時候，廣泛地套用數學這一工具。當然，力學、天文學和物理學對數學的需要也促進了數學本身的發展，比如力學的研究就促使了微積分的建立和發展。
數學的抽象性往往和套用的廣泛性緊密相連，某一個數量關係，往往代表一切具有這樣數量關係的實際問題。比如，一個力學系統的振動和一個電路的振盪等用同一個微分方程來描述。撇開具體的物理現象中的意義來研究這一公式，所得的結果又可用於類似的物理現象中，這樣，我們掌握了一種方法就能解決許多類似的問題。對於不同性質的現象具有相同的數學形式，就是相同的數量關係，是反映了物質世界的統一性，因為量的關係不只是存在於某一種特定的物質形態或者它的特定的運動形式中，而是普遍存在於各種物質形態和各種運動形式中，所以數學的套用是很廣泛的。
正因為數學來自現實世界，正確地反映了客觀世界聯繫形式的一部分，所以它才能被套用，才能指導實踐，才表現出數學的預見性。比如，在火箭、飛彈發射之前，可以通過精密的計算，預測它的飛行軌道和著陸地點；在天體中的未知行星未被直接觀察到以前，就從天文計算上預測它的存在。同樣的道理也才使得數學成為工程技術中的重要工具。
下面舉幾個套用數學的光輝例子。
第一，海王星的發現。太陽系中的行星之一的海王星是在1846年在數學計算的基礎上發現的。1781年發現了天王星以後，觀察它的運行軌道總是和預測的結果有相當程度的差異，是萬有引力定律不正確呢，還是有其他的原因？有人懷疑在它周圍有另一顆行星存在，影響了它的運行軌道。1844年英國的亞當斯（1819—1892）利用引力定律和對天王星的觀察資料，推算這顆未知行星的軌道，花了很長的時間計算出這顆未知行星的位置，以及它出現在天空中的方位。亞當斯於1845年9～10月把結果分別寄給了劍橋大學天文台台長查理士和英國格林尼治天文台台長艾里，但是查理士和艾里迷信權威，把它束之高閣，不予理睬。
1845年，法國一個年輕的天文學家、數學家勒維烈（1811—1877）經過一年多的計算，於1846年9月寫了一封信給德國柏林天文台助理員加勒（1812—1910），信中說：“請你把望遠鏡對準黃道上的寶瓶星座，就是經度326°的地方，那時你將在那個地方1°之內，見到一顆九等亮度的星。”加勒按勒維烈所指出的方位進行觀察，果然在離所指出的位置相差不到1°的地方找到了一顆在星圖上沒有的星──海王星。海王星的發現不僅是力學和天文學特別是哥白尼日心學說的偉大勝利，而且也是數學計算的偉大勝利。
第二，穀神星的發現。1801年元旦，義大利天文學家皮亞齊（1746—1826）發現了一顆新的小行星──穀神星。不過它很快又躲藏起來，皮亞齊只記下了這顆小行星是沿著9°的弧運動的，對於它的整個軌道，皮亞齊和其他天文學家都沒有辦法求得。德國的24歲的高斯根據觀察的結果進行了計算，求得了這顆小行星的軌道。天文學家們在這一年的12月7日在高斯預先指出的方位又重新發現了穀神星。
第三，電磁波的發現。英國物理學家麥克斯韋（1831—1879）概括了由實驗建立起來的電磁現象，呈現為二階微分方程的形式。他用純數學的觀點，從這些方程推導出存在著電磁波，這種波以光速傳播著。根據這一點，他提出了光的電磁理論，這理論後來被全面發展和論證了。麥克斯韋的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波，比如由振動放電所發射的電磁波。這樣的電磁波後來果然被德國物理學家赫茲（1857—1894）發現了。這就是現代無線電技術的起源。
第四，1930年，英國理論物理學家狄拉克（1902—1984）利用數學演繹法和計算預言了正電子的存在。1932年，美國物理學家安德遜在宇宙射線實驗中發現了正電子。
（選自《數學的過去、現在和未來》，中國青年出版社1982年版）
四、數學與文化——是與非的觀念 克萊因
數學一直是形成現代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素，這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種誇張的說法。這種懷疑態度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數學實質的錯誤概念所帶來的結果。
由於受學校教育的影響，一般人認為數學僅僅是對科學家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導致了對這門學科的厭惡和對它的忽視。當有人對這種狀況提出異議時，某些飽學之士可以得到權威們的支持。聖 奧古斯丁(St．Augustine)不是說過嗎：“好的基督徒應該提防數學家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已經存在，數學家們已經與魔鬼簽定了協約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對於作惡者、數學家諸如此類的人”應禁止他們“學習幾何技藝和參加當眾運算像數學這樣可惡的學問。”叔本華(Schopenhauer)，一位在現代哲學史上占有重要地位的哲學家，也把算術說成是最低級的精神活動，他之所以持這種態度，是基於算術能通過機器來運算這一事實。
由於學校數學教學的影響，這些權威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數學的觀點仍然是錯誤的。數學學科並不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。
技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落後的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言並不是天方夜譚。
因此，讓我們看一看20世紀人們對這門學科的態度。首先，數學主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的方法。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準確地表述出作為推理基礎的公設。具有極其嚴密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設出發，推導出結論。數學的這一特徵由17世紀一位著名的作家在論及數學和科學時，以某種不同的方式表述過：“數學家們像戀人。……承認一位數學家的最初的原理，那么他由此將會推導出你也必須承認的另一結論，從這一結論又推導出其他的結論。”
僅僅把數學看作一種探求的方法，就如同把達 芬奇“最後的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數學也是一門需要創造性的學科。在預測能被證明的內容時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想像。例如，牛頓和克卜勒就是極富於想像力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統，而且建立了新的、革命性的概念。在數學中，人的創造能力運用的範圍，只有通過檢驗這些創造本身才能決定。有些創造性成果將在後面討論，但這裡只需說一下現在這門學科已有八十多個廣泛的分支就夠了。
如果數學的確是一種創造性活動，那么驅使人們去追求它的動力是什麼呢?研究數學最明顯的、儘管不一定是最重要的動力是為了解決因社會需要而直接提出的問題。商業和金融事務、航海、曆法的計算、橋樑、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰武器和工事的設計，以及許多其他的人類需要，數學能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程時代，數學被當作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。數學的另外一個基本作用(的確，這一點在現代特別突出)，那就是提供自然現象的合理結構。數學的概念、方法和結論是物理學的基礎。這些學科的成就大小取決於它們與數學結合的程度。數學已經給互不關聯的事實的乾枯骨架注入了生命，使其成了有聯繫的有機體，並且還將一系列彼此脫節的觀察研究納入科學的實體之中。
智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數學家研究數的性質和幾何圖形，並且取得了富有創造性的成果。今天很受重視的機率論，就開始於牌賭中的一個問題——一場賭博在結束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學沒有什麼聯繫的最突出的成就，就是由古代希臘人創造出來的，他們把數學轉變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統。事實上，數學學科中一些最偉大的成就——射影幾何、數論、超窮數理論和非歐幾何，這裡我只提到我們將要討論的內容——都是為了解決純智力的挑戰。
進行數學創造的最主要的趨策力是對美的追求。羅素，這位抽象數學思想的大師曾直言不諱地說：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高於人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學裡得到。
除了完善的結構美以外，在證明和得出結論的過程中，運用必不可少的想像和直覺也給創造者提供了高度的美學上的滿足。如果美的組成和藝術作品的特徵包括洞察力和想像力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應達到目的的手段，那么數學就是一門具有其特有完美性的藝術。
儘管歷史已清楚地表明，上述所有因素推動了數學的產生和發展，但是依然存在許多錯誤的觀點。有這樣的指責(經常是用來為對這門學科的忽視作辯解的)，認為數學家們喜歡沉湎於毫無意義的臆測;或者認為數學家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的研究，更不用說由於科學和工程的需要而進行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發現二乾多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在現代天文學、仿射運動理論和萬有引力定律中發揮了作用。
另一方面，一些“具有社會頭腦”的作家斷言：數學完全或者主要是由於實際需要，如需要建築橋樑、製造雷達和飛機而產生或發展的。這種斷言也是錯誤的。數學已經使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數學家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際套用漠不關心，這可能是因為他們成果的套用在幾百年後才實現。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數學玄想，比起貨棧職員採用“+”號和“一”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數學史上的一個轉折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個時代的問題，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會成為一位出色的神學家。偉大的思想家追求時代智力風尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數學作為純粹業餘愛好的富有創造性的天才，也會去研究令專業數學家和科學家感到十分激動的問題。但是，那些“業餘愛好者”和數學家們一般並不十分關心他們工作的實用價值。
實用的、科學的、美學的和哲學的因素，共同促進了數學的形成。把這些做出貢獻、產生影響的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學和哲學因素作出反應的純粹思維，決定性地塑造了數學的特徵，並且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數學家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是藉助於社會力量的推動。如果這些力量不能為數學家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭;然後他們就僅僅只能維持這門學科處於孤立的境地。雖然在短時期內還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現。
數學的另一個重要特徵是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數學也用符號表示數量關係和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的、憑藉數學語言的嚴密性和簡潔性，數學家們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助於思維的效率。J．K．傑羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸於代數符號，在下面一段描寫中，儘管與數學無關，卻清楚地表現了數學的實用性和明了性：
當一個12世紀的青年墮入情網時，他不會後退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，並且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——於是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。
數學語言中使用的符號十分重要，它們能區別日常語言中經常引起混亂的意義。例如，英語中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(He is here)這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangel is white)這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關的屬性。在“那個人正在跑”(The man is running)這個句子中，這個詞"is”表示的是動詞時態。在“二加二等於四"(Two and Two are four)這個句子中，is的形式被用於表示數字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”(Men are the two—legged thinking mammals)這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為儘管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產生什麼誤會。但是，數學的精確性——它與科學和哲學的精確性一樣，要求數學領域的研究者們更加謹慎。
數學語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習慣於它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數學家說：“今天我沒看見一個人”(I did not see one person today)，那么他的意思可能是他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數學的這種精確性，在一個還沒有認識到它對於精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過於呆板，過於拘泥於形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數學風格以簡潔和形式的完美作為其目標，但有時由於過分地拘泥於形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術語表述圖1所示的內容，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然後再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個正方形的面積就等於前面兩個正方形面積之和。”但是沒有一個數學家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等於斜邊的平方。”這種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數學表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由於這種惜墨如金的做法，任何數學文獻的讀者有時會發現自己的耐心受到了極大的考驗。
數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言。數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想;甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現代歷史的進程。
數學是一門知識體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點卻認為數學是無可辯駁的真理的匯集，認為數學就像是信仰《聖經》的教徒們從上帝那兒獲得最後的啟示錄一樣，這是一個難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數學家們也贊同這種謬論。幸運的是，19世紀發生的一些數學事件(這些我們隨後將進行討論)向這些數學家表明，這種看法是錯誤的。在這門學科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個世紀創立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學中所證明的定理就是矛盾的。儘管沒有真理，數學卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個最大的悖論將是我們所關注的課題之一。
由於20世紀必須將數學知識與真理區分開，因此也必須將數學與科學區分開，因為科學確在尋求關於物質世界的真理。然而數學卻無疑地是科學的燈塔，而且還繼續幫助科學獲得在現代文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由於有了數學，現代科學才取得了輝煌的成就。但是我們將會看到，這兩個領域有著明顯的區別。
在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活;試圖回答有關人類自身存在提出的問題;努力去理解和控制自然;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。在本書中，我們最為關心的將是這種精神的作用。
數學還有一個更加典型的特徵與我們的論述密切相關。數學是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而鬥爭，這場鬥爭經歷了史前的幾個世紀 和隨後有文字記載歷史的幾個世紀，最後終於在肥沃的希臘土壤中扎穩了生存的根基，並且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花——歐氏幾何。其他的花蕾也 含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數學的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。
數學創造力的缺乏也表現在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的。看看羅馬的情況吧。在數學史上，羅馬人在一定時期內曾作出過貢獻，但從那以後他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數學家和科學家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當時他正在研究畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死於一個羅馬士兵之手，是一個世界發生頭等重要變化的標誌;愛好抽象科學、擅長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德 比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重複其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由於只重實用而導致了創造性的缺乏。他們沒有發展其祖先的知識，他們所有的進步都局限於工程技術的細枝末葉。他們並不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎於數學圖形而喪命。
注重實用的羅馬帝國，將其精力用於權術和征服外邦。為迎接軍隊勝利歸來的拱形的凱旋門，也許是羅馬帝國的最好象徵，但它們不是顯得得體優雅，而是顯得毫無生氣。羅馬最突出的特徵也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒有真正的獨創精神。簡言之，羅馬文化是外來的，羅馬時期的大多數成就主要淵源於小亞細亞的希臘，此時小亞細亞的希臘正處於羅馬政權統治之下。
這幾個例子告訴我們，一個時代的總的特徵在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關係在我們這個時代尤為明顯。在不抹煞歷史學家、經濟學家、哲學家、作家、詩人、畫家和政治家功績的前提下，我們可以這樣說：其他文明已經產生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，儘管歐幾里得和阿基米德無疑地是極其卓越的思想家，儘管我們的數學家得以達到最高的水平，這僅僅是因為像牛頓所說的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個時代，數學才達到了它應該達到的範圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由於數學已經廣泛地影響著現代生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區別。也許，在這本書中，我們會看到現在這個時代是如何受惠於數學的。
