換底公式

換底公式是高中數學常用對數運算公式，可將多異底對數式轉化為同底對數式，結合其他的對數運算公式一起使用。計算中常常會減少計算的難度，更迅速的解決高中範圍的對數運算。

基本介紹

• 中文名：換底公式
• 外文名：base changing formula for logarithms
• 使用特點：尋找特殊值，換對對數
• 適用學科：數學、計算機編程、建築工程
• 適用範圍：對數的計算，高中數學
• 公式成立條件：對數的底均大於零且不等於1

簡單介紹

公式

對於 且 ，有

推導過程

法一：若有對數 ，設 ， 。

則根據對數的基本公式 和 及 , 可得

則有

證畢。

法二：若有對數 ，則 ，且

於是

兩邊取以c為底的對數得 ， ，即 。

證畢。

法三：若有對數 ，則 ，且，於是

即

從而

證畢。

推論

下面給出若干推論。由換底公式，易知

指數函式換底公式

在高等數學中有一種求導方法叫對數求導法，其原理就是指數函式的換底，把底為普通常數或變數的指數函式或冪指函式統統都變形為以e為底的複合函式形式。

這些都可以很容易地由對數換底公式及推論得到。

套用

對數計算

通常在處理數學運算中，將一般底數轉換為以e為底的自然對數或者是轉換為以10為底的常用對數，方便運算；有時也通過用換底公式來證明或求解相關問題；

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如，大多數計算器有自然對數和常用對數的按鈕，但卻沒有[log2]的。要計算 ，你只有計算 （或 ，兩者結果一樣）；

工程技術

在工程技術中，換底公式也是經常用到的公式。

例如，在程式語言中，有些程式語言（例如C語言）沒有以a為底b為真數的對數函式，只有以常用對數（即以10為底的對數）或自然對數（即e為底的對數）。此時就要用到換底公式來換成以e或者10為底的對數，表示出以a為底b為真數的對數表達式，從而處理某些實際問題。