對數公式

對數公式是數學中的一種常見公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，則x叫做以a為底N的對數,記做x=log(a)(N)，其中a要寫於log右下。其中a叫做對數的底，N叫做真數。通常我們將以10為底的對數叫做常用對數，以e為底的對數稱為自然對數。

基本介紹

• 中文名：對數公式
• 外文名：logarithmic formula
• 類別：公式
• 適用領域：數學
• 適用函式：對數函式 

性質

基本知識

① ；

② ；

③負數與零無對數.

④ * =1；

⑤；

恆等式及證明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）推導：log(a) (a^N)=N恆等式證明

在a>0且a≠1，N>0時

設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)

則有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

證明完畢

運算法則

①

②

③

(M,N∈R)

如果 ，則m為數a的自然對數，即 ，e=2.718281828…為自然對數

的底，其為無限不循環小數。定義： 若 則

基本性質：

1、

2、

3、

4、

5、

推導：

1、因為 ，代入則 ，即 。

2、MN=M×N

由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函式是單調函式，所以

3、與（2）類似處理 M/N=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函式是單調函式，所以

4、與（2）類似處理

由基本性質1(換掉M)

由指數的性質

又因為指數函式是單調函式，所以

或

由基本性質2（展開 ，如圖所示）

對數基本性質4推導過程

基本性質4推廣

推導如下： 由換底公式（見下面）[ 是 ，e稱作自然對數的底]

換底公式的推導： 設 則

其中

得：

由基本性質4可得

再由換底公式

換底公式

設b=a^m，a=c^n，則b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

對①取以a為底的對數，有：log(a)(b)=m……………………………..②

對①取以c為底的對數，有：log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

註：log(a)(b)表示以a為底b的對數。

換底公式拓展：

以e為底數和以a為底數的公式代換：

logae=1/（lna）

推導公式

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

loge(x)=ln(x)

lg(x)=log10(x)

求導數

(xlogax)'=logax+1/lna

其中，logax中的a為底數，x為真數；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e時有

(logex)'=(lnx)'=1/x