真數(數學名詞)

一個數，它的對數是已知數，就稱此數為已知數的真數。真數亦稱反對數，是相對於假數(即對數)而言的數。始見於《數理精蘊》下編卷三十八“對數比例”。設a是個不等於1的正數，即a>0，且a≠1。若a^p=b，則稱p為b的以a為底的對數；而稱b為p的以a為底的真數。記作p=log_ab。例如，以2為底，則8的對數是3，3的真數是8。

基本介紹

• 中文名：真數
• 外文名：natural(number);antilogarithm
• 所屬學科：數學（初等代數）
• 相關概念：對數，底數，常用對數等

定義

如果 ，即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作 。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數，x叫做“以a為底N的對數”。

1. 特別地，我們稱以10為底的對數叫做常用對數（common logarithm），並記為lg。
   
2. 稱以無理數e（e=2.71828...）為底的對數稱為自然對數（natural logarithm），並記為ln。
   
3. 零沒有對數。
   
4. 在實數範圍內，負數無對數。在複數範圍內，負數是有對數的。
   

相關性質

對數的基本性質：

(1)

(2)

(3)

(4) 。

就可把乘、除、乘方、開方分別化為加、減、乘、除。以10為底的對數稱為“常用對數”或“布立格斯(Briggs)對數”。以超越數 為底的對數，稱為“自然對數”或“訥皮爾(Napier)對數”。常用對數和自然對數都有對數表可查。

對數

設 是一個不為1的正數，如果 ，則稱 為以 為底時， 的對數(logarithm;artifical number)，記為 ， 稱為真數。從實對數定義可知，零和負數沒有實對數。例如當以10為底時，由於100=10²，因此100(以10為底)的對數是2；由0.001=10^-3可知，0.001的對數為-3。

利用對數，可以把乘、除、乘方、開方分別分為加、減、乘、除。因此，對數能用來簡化計算。在16世紀，商業、航海學與天文學得到迅速的發展，為了適應簡化複利、天文與球面三角計算的需要，形成了對數的概念。恩格斯高度評價了對數的作用，把它與解析幾何、微積分並稱為近代“最重要的數學方法”。由於對數能大大簡化計算，歷史上曾把它當成計算的法寶，但至今，它的地位已被計算機(器)所取代。

以10為底的對數，稱為常用對數。在高等數學中，常使用以e為底的對數，即自然對數。常用對數與自然對數可利用換底公式互換。對數不僅可用來簡化計算，而且在微積分、微分方程及複變函數論等方面，都是有用的運算工具，在表示自然現象的方程或公式中經常出現。

1742年，瓊斯(Jones，W.)在給伽代爾(Gardiner，W.)的《對數表》寫的序言中第一次採用了這樣的對數定義.對數的創始人是納皮爾(Napier，J.)，他在解決天文學中的計算問題時提出並使用了對數.1614年，納皮爾在《論述對數的奇蹟》以及在他死後於1619年出版的著作《做出對數的奇蹟》中都介紹了他的對數方法。納皮爾定義的對數現在稱為納皮爾對數，記為Nap log y，它與自然對數的關係是

比爾吉(Bürgi，J.)也於1600年左右獨立地發現了對數，但他的著作卻在1620年才發表。對數與對數表於1648年由穆尼閣(Smogolenski，J.-N.)講授傳入中國後，在由薛鳳祚整理的《歷學會通》的《比例對數表》中將lograithm譯為“比例數”，它給出了1—20000的六位對數表，在《比例四線新表》中給出了三角函式的對數表。當時，log_aN=b中的N稱為真數，而b稱為“假數”，後來把b稱為N的對數。1723年印出的由梅彀成(有的書寫成梅珏成)等編著的《數理精蘊》一書，較詳細地敘述了對數的內容和編造對數表的方法。