在機率理論和統計學中，指數分布（也稱為負指數分布）是描述泊松過程中的事件之間的時間的機率分布，即事件以恆定平均速率連續且獨立地發生的過程。 這是伽馬分布的一個特殊情況。 它是幾何分布的連續模擬，它具有無記憶的關鍵性質。 除了用於分析泊松過程外，還可以在其他各種環境中找到。
指數分布與分布指數族的分類不同，後者是包含指數分布作為其成員之一的大類機率分布，也包括常態分配，二項分布，伽馬分布，泊松分布等等。
指數函式的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變數呈指數分布，當s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件機率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的機率相等。
基本介紹
- 中文名：指數分布
- 外文名：Exponential Distribution
- 別稱：指數隨機變數
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：機率論
- 適用領域範圍：數理統計
- 實例：常態分配，二項分布，泊松分布
定義,分布函式,數學期望,方差,記號,特性,無記憶性,分位數,分布,套用,
定義
機率密度函式
公式其中λ > 0是分布的一個參數，常被稱為率參數（rate parameter）。即每單位時間內發生某事件的次數。指數分布的區間是[0,∞)。 如果一個隨機變數X呈指數分布，則可以寫作：X~ E（λ）。
其中θ>0為常數，則稱X服從參數θ的指數分布。
分布函式
指數分布的分布函式由下式給出：
有：
數學期望
期望值：
比方說：如果你平均每個小時接到2次電話，那么你預期等待每一次電話的時間是半個小時。
方差
方差：
記號
若隨機變數x服從參數為λ的指數分布，則記為
。
特性
無記憶性
指數函式的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變數呈指數分布
當
時有
即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少
小時的條件機率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的機率相等。
分位數
參數λ的四分位數函式（Quartile function）是：
中位數：
第三四分位數：
分布
指數分布可以看作當威布爾分布中的形狀係數等於1的特殊分布，指數分布的失效率是與時間t無關的常數，所以分布函式簡單。
套用
在電子元器件的可靠性研究中，通常用於描述對發生的缺陷數或系統故障數的測量結果。這種分布表現為均值越小，分布偏斜的越厲害。
指數分布套用廣泛，在日本的工業標準和美國軍用標準中，半導體器件的抽驗方案都是採用指數分布。此外，指數分布還用來描述大型複雜系統（如計算機）的平均故障間隔時間MTBF的失效分布。但是，由於指數分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機械可靠性研究中的套用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產品或零件經過一段時間t0的工作後,仍然如同新的產品一樣,不影響以後的工作壽命值，或者說，經過一段時間t0的工作之後，該產品的壽命分布與原來還未工作時的壽命分布相同，顯然，指數分布的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產品損傷累積和老化這一過程。所以，指數分布不能作為機械零件功能參數的分布形式。
指數分布雖然不能作為機械零件功能參數的分布規律，但是，它可以近似地作為高可靠性的複雜部件、機器或系統的失效分布模型，特別是在部件或機器的整機試驗中得到廣泛的套用。
指數分布的圖形表面上看與冪律分布很相似，實際兩者有極大不同，指數分布的收斂速度遠快過冪律分布。
指數分布的參數為λ，則指數分布的期望為
，方差為
。
