指數方程

指數方程(exponential equation)是一種超越方程.指含底是常數而指數里含有未知數的項，但不含有其他超越式的方程。

也可以將指數方程定義為:在指數里含有未知數的方程.這個定義與上面定義不同之處是沒有“底數是常數”的限制以及允許含有其他超越式.因此，這樣定義指數方程包含冪指方程和含有其他超越式的方程。

基本介紹

• 中文名：指數方程
• 外文名：exponential equation
• 表達式：a^x=b
• 套用學科：數學
• 定義：底是常數而指數含有未知數
• 關鍵：化為一元一次、一元二次方程
• 解法：4種

定義

指數方程(exponential equation)是在指數里含有未知數的方程叫做指數方程。

圖1 指數方程

反函式

對數方程：在對數符號後面含有未知數的方程。

基本思想

化同底或換元。

例題

方程(1/2)^x=x,x的解為

a.(1/10,1/5)

b.(3/10,2/5)

c.(1/2,7/10)

d.(9/10,1)

解這種題目有兩種方法。一、二分法求方程的解。把方程變形得到：(1/2)^x-x=0，設函式Y=(1/2)^x-x，那么解這個方程也就是要求Y=0的時候X的值，也就是求函式Y=(1/2)^x-x與X軸交點的橫坐標，畫圖後可以看出只有一個解。那么假設這個解為A，那么對於大於A的數M和小於A的數N，必定有f(M)*f(N)<0,仔細想想，點（A，0）在X軸上，它兩邊的函式一邊大於0，一邊小於0。隨便帶如果兩個比較簡單的數，求函式值，如果一正一負，那么f(M)*f(N)<0，A就必定在（M，N）區間內，取M和N的中點，算函式值，看這個函式值是大於0還是小於0，再與N或M組成一個區間，A必定在這個區間內，再重複這種操作，就可以求出解的很精確的數值。二、這是選擇題，把答案帶如檢驗也可以。分別把四個選項的兩個數帶如上述函式，看其乘積是否小於0，如果是，根就在這個區間內。檢驗之後，只有C符合。所以選C。

解題關鍵

如何將指數方程化歸為一元一次、一元二次方程。在化歸過程中有時兩邊化同底，有時兩邊取對數，有時恰當變形後換元，充分體現了化歸思想和熟悉化解題原則。

解法

（1）方程的解法：形如 的方程，方程的解是 。

（2）方程的解法：形如 的方程，將方程化為f(x)=g(x)。

（3）方程的解法：形如 的方程，將方程化為f(x)lga=g(x)lgb。

（4）方程的解法： 形如 的方程，設 方程可化為At2+Bt+C=0。

對比

對數方程：在對數符號後面含有未知數的方程。

冪函式：指數為常數，底數含有未知數的方程。

圖2 指數與對數對比圖

套用——解Burgers-BBM方程

根據非線性Burgers-BBM方程的特點,利用指數函式展開法及齊次平衡原理,通過一個變換技巧,並藉助Maple數學軟體強大符號運算功能,簡捷地獲得了Burgers-BBM方程的行波解、孤立波解及三角函式周期解.並用Maple軟體獲得3個典型的波形圖。