基本介紹
- 中文名：抽象函式
- 外文名：Abstract function
- 性質：數學術語
- 套用：通過特點計算解析式
函式介紹,一般形式,抽象函式形式,證明,表達形式,微分方程,學好函式,解法舉例,特殊值法,賦值法,圖像性質解法,
函式介紹
一般形式
抽象函式形式
冪函式：f(xy)=f(x)f(y)
f(x/y)=f(x)/f(y)
正比例函式：f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x-y)=f(x)-f(y
對數函式：f(x)+f(y)=f(xy)
f(x/y)=f(x)-f(y)
三角函式：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx
指數函式：f(x+y)=f(x)f(y)
f(x-y)=f(x)/f(y)
周期為n的周期函式：f(x)=f(x+n)
證明
例題：f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞增，f(2)=1。求證：f(x)=lgx/lg2即以二為底x的對數。
證明：定義域：相同
∵f(2*1)=f(2)+f(1)∴f(1)=0
∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)
∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k個x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k個f(x)】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2時f(x^k)=k) ①
f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k個(1/x)】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k個】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2時，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）
f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2時，f(x^k)=k=0)
∴f(2^k)=k,k∈Z②
∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)
∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0
又∵② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m對所有有理數成立 ③
任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定為f(y),y>2^z(由於單調性以及③)，
在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n為有理數，n>0,
f(q)=z-n<f(y)=z(單調性)與n>0矛盾，導出矛盾所以f(2^z)<z不成立
{2}同理f(2^z)>z不成立
又∵2^z>0，有定義域
所以f(2^z)=z
令x=2^z>0,f(x)=z=以二為底2^z的對數=以二為底x的對數
證畢。（若沒有單調性要先證單調性）
表達形式
f(m+x)=f(n-x) 對稱軸為(m+n)/2
f(m+x)+f(n-x)=1 關於（(m+n)/2,1/2)對稱
f(x+m)=f(x) 周期為m
微分方程
求解抽象函式
一般方法學好函式
熟悉函式的基本知識
解答抽象函式題目的基礎是熟悉函式的基本知識。如果連基本的函式知識都沒有掌握，解決抽象函式問題只能是空談。具體說，學好函式要掌握常見函式的性質。例如，中學涉及的函式性質一般有單調性、奇偶性、有界性及周期性；常見的函式有指數函式、對數函式、三角函式、二次函式、對勾函式（Y=X+A/X(A>0)）等等。
靈活選擇解題方法
從上文對幾種解法的介紹不難看出，選擇合適的方法對解決抽象函式問題往往會起到事半功倍的效果。對於選擇題，選用特殊值法、賦值法、圖像法等等可以在很短的時間內得到答案，在應試時節省出不少時間。而對各種方法的理解，在解題中選擇出合適的方法，則需要在平時的學習中多體會多感悟。
解法舉例
特殊值法
特殊值法是處理抽象函式選擇題的有力方法。根據抽象函式具有的性質，選擇一個熟悉的函式作為特殊值代入驗證，可以解決大部分選擇題。
例1 定義在R上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，當x<0時， f (x)>0，則函式f (x)在[a,b]上 ( )
A 有最小值f (a) B 有最大值f[(a+b)/2] C 有最小值f (b) D 有最大值f (b)
特殊函式 | 抽象函式 |
f (x)= x | f (xy) =f (x) f (y) |
f (x)= 0 | f (x+y)= f (xy) |
f (x)= logax | f (xy) = f (x)+f (y) |
此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0)
∵當x <0時f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上單調遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)。
賦值法
根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值，從而解決問題。
例2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法
解:令y = -x，則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。
∵當x <0時，f (x) >0，
即f (x)在R上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
圖像性質解法
抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。
抽象函式解題時常要用到以下結論：
定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x=(a+b)/2 對稱。
定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個周期函式，其周期應為∣b-a∣
例4 f(x)是定義在R上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是周期函式。
分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那么就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。
由圖可直觀得T=2,要證其為周期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。
證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。
∴f (x)是一個周期函式。
分析：根據函式的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區間內呢？如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函式，則f (x)有性質f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免複雜的討論。
