微分法

在數學中，微分是對函式的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。當某些函式f的自變數x有一個微小的改變h時，函式的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分，另一部分是比h更高階的無窮小，這種表示方法成為微分法。

基本介紹

• 中文名：微分法
• 外文名：Differential method
• 套用：線性代數
• 領域：數理科學

簡介

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變數的改變數 映射到變化量的線性部分的線性映射 。這個映射也被稱為切映射。給定的函式在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

在數學中，微分是對函式的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。當某些函式 的自變數 有一個微小的改變 時，函式的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變數的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函式 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高階的無窮小，也就是說除以 後仍然會趨於零。當改變數很小時，第二部分可以忽略不計，函式的變化量約等於第一部分，也就是函式在 處的微分，記作 或 。如果一個函式在某處具有以上的性質，就稱此函式在該點可微。

不是所有的函式的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函式在某一點無法做到可微，便稱函式在該點不可微。

定義

微分法定義如下：

設函式 在某區間 內有定義。對於 內一點 ，當 變動到附近的 （也在此區間內）時，如果函式的增量 可表示為 （其中 是不依賴於 的常數），而 是比高階的無窮小，那么稱函式 在點 是可微的，且 稱作函式在點 相應於自變數增量 的微分，記作 ，即 ， 是 的線性主部。

通常把自變數 的增量 稱為自變數的微分，記作 ，即 。

圖1.微分法

（函式在一點的微分，其中紅線部分是微分量 ，而加上灰線部分後是實際的改變數 。）

幾何意義

設 是曲線 上的點 在橫坐標上的增量，是曲線在點 對應 在縱坐標上的增量， 是曲線在點 的切線對應 在縱坐標上的增量。當 很小時， 比 要小得多(高階無窮小)，因此在點 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則，例如，如果設函式 、 可微，那么：

1)

2）

3） ，

4）若函式 可導，那么 。

微分法與微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那么微分形式則是對於微分函式的再推廣。微分函式對每個點 給出一個近似描述函式性質的線性映射 ，而微分形式對區域 內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式： 。在坐標記法下，可以寫成：

其中的是-射影運算元，也就是說將一個向量射到它的第個分量的映射。而是滿足：

的k-形式。

特別地，當是一個從映射到的函式時，可以將寫作：

正是上面公式的一個特例。