形式解陣

簡介

形式解陣是由矩陣表達的形式解。

用形式級數法討論具有第一、第二類奇點的線性系統

可以得出很細緻的結果。下列表達式稱為形式洛朗級數

（約定：除有限項外，z 的負冪項的係數均為零）。

下列表達式稱為形式對數和（

，對充分大的 j+k）

其中

為形式洛朗級數。

顯然，形式對數和構成一個復代數 Λ ，它由形式洛朗級數，z 的冪以及 logz 的整冪生成。

形式洛朗級數以及形式對數和還分別具有形式導數如下

注意形式導數對復代數 n 也是封閉的。

元素均為形式對數和的矩陣，稱為形式對數陣。例如，方程

的右端即為一形式對數陣。一個形式地滿足方程c1>的形式對數陣，即稱為一形式解陣。

對於具有第一類奇點的上述方程，一個非常細緻的結果是：任何形式解陣必為一準確解陣。換言之，形式解陣中的一切形式對數和均收斂。這個結果能使人們寫出方程的解結構的一般形式，因而也就構成線性方程冪級數解法的理論基礎。

對第二類奇點的系統

（其中矩陣 B 在 z=0 處解析，ρ 為一正整數），卻並無相應的結果；傳統的做法先得出一個形式解陣（這也是相當困難的），然後研究其漸近性。以下僅寫出有關形式解陣的結果。對(2)，考慮奇點

，則有如下結果：對於系統

其中 r 為非負整數，陣 A(z) 在的鄰域內為 z的收斂冪級數

若

。

有相異本徵值

，則系統存在下面形狀的形式解陣

，其中陣 R 為對角陣，陣 P 與 Q 分別有形

（P0 為非奇陣，即

)，

且各

均為對角陣，Q₀與A₀有相同本徵值。