下三角矩陣

一個矩陣稱為下三角矩陣如果對角線上方的元素全部為0。類似地，一個矩陣稱為上三角矩陣如果對角線下方的元素全部為0。

定義

定義：若矩陣L具有下列形式：

則稱為下三角矩陣。

若矩陣U具有下列形式：

則稱為上三角矩陣。

許多矩陣運算保持下三角性不變:

• 兩個下三角矩陣的和下三角。
  
• 兩個下三角矩陣的乘積是下三角。
  
• 一個可逆的下三角矩陣的逆是下三角。
  
• 下三角矩陣與常數相乘是一個下三角矩陣。
  以上性質對上三角矩陣也成立。
  

嚴格上(下)三角矩陣

若上（下）三角矩陣對角線元素全是1，則稱為嚴格上（下）三角矩陣。

原子三角矩陣

一個原子下(上)三角矩陣是矩陣的一種特殊形式，所有的地方非對角元素為零，除了在單個列的條目。這樣一個矩陣也被稱為弗羅貝尼烏斯矩陣，高斯矩陣或高斯變換矩陣。即原子下三角矩陣的形式

一個原子三角矩陣的逆再次原子三角形。事實上，我們有

例子

是上三角陣。

是下三角陣

是原子下三角矩陣，其逆為

方程組求解

一個矩陣方程形式 或 很容易解決的一個疊代過程給出求解。

Lx = b矩陣方程可以寫成一個線性方程組

其解疊代公式為

算法

下面給出一個C語言的算法實現：

public static double[] luEvaluate(double[][] L, double[][] U, double[] b)

{

// Ax = b -> LUx = b. Then y is defined to be Ux

double[] x = new double[b.Length];

double[] y = new double[b.Length];

// Forward solve Ly = b

for (int i = 0; i < b.Length; i++)

{

y[i] = b[i];

for (int j = 0; j < i; j++) {

y[i] -= L[i][j] * y[j];

}

y[i] /= L[i][i];

}

// Backward solve Ux = y

for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)

{

x[i] = y[i];

for (int j = i + 1; j < n; j++) {

x[i] -= U[i][j] * x[j];

}

x[i] /= U[i][i];

}

return x;

}