幾何變換（geometric transformation）是指從具有幾何結構之集合至其自身或其他此類集合的一種對射。幾何變換是一種數學解題的方法思路。在幾何的解題中，當題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時，我們可以將圖形作一定的變換，這樣將有利於發現問題的隱含條件，使問題得以突破。
基本介紹
定義,基本性質,翻折變換,平移變換,旋轉變換,競賽知識點,例題剖析,
定義
具體來說，“幾何變換是一個函式，其定義域與值域為點集合。幾何變換最常見的定義域與值域為同時為R2，或同時為R3。其他的幾何變換則要求須為一對一函式，使之有反函式。”可透過研究這些變換的方法來研究幾何。
幾何變換可以其操作集合的維度來分類（因此可分類出平面變換與空間變換等）。幾何變換亦可依據其保留其性質來分類：
- 位移保留距離與方向角度；
- 等距同構保留距離與角度；
- 相似保留距離間的比例；
- 仿射變換保留平行；
- 投影變換保留共線性；
- 微分同胚為一階仿射的變換；前面所有變換都是微分同胚的特例。
- 共形變換保留角度在一階的相似。
- 保積變換保留在平面上的面積，或在三維空間上的容量。該變換為行列式為1的一階仿射變換。
- 同胚保留點的鄰域。
以上每種變換均包含前一種變換。
圖1：幾何變換設T是平面π的一個變換，F是平面上的一個圖形（即平面的一個子集），令
F'=T(F)={T(A)|A屬於F}.
那么，圖形F'稱為圖形F在變換T下的像,T是一個幾何變換。
基本性質
如果平面上一個點A滿足T(A)=A，那么A稱為T的不動點；如果圖形F滿足T(F)=F，那么F是T的不變圖形。
如果對於平面上任意兩點A,B與其象點T(A),T(B)，總有AB=T(A)T(B)，那么稱T為契約變換。
如果存在一個常數k，使AB=T(A)T(B)/k,那么稱T為相似變換，k為相似係數或相似比。
保持角的方向不變的相似變換為真正相似變換，角的方向相反的為鏡像相似變換。
兩圖形真正相似也稱順相似或同向相似，鏡像相似也稱逆相似。
翻折變換
內容提要：翻折變換是平面到自身的變換，若存在一條直線l，使對於平面上的每一點P及其對應點P′，其連線PP′都被定直線l垂直平分，則稱這種變換為翻折變換，定直線l稱為對稱軸。翻折變換有如下性質：
(1)把圖形變為與之全等的圖形；
(2)關於l對稱的兩點連線被l垂直平分。
證題過程中使用翻折變換，可保留原有圖形的性質，且使原來分散條件相對集中，以利於問題的解決。
平移變換
定義：設v是平面π上的一個固定向量，如果平面π的一個變換，使得對於平面π上的任意一定A與其像點A'之間，恆有AA'=v，則這個變換稱為平面π的一個平移變換。記作T(v)。
旋轉變換
內容提要： 旋轉變換是平面到它自身的變換，使原點O變換到它自身，其他任何點X變到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)。則稱這樣的變換為旋轉變換，O稱為旋轉中心。旋轉變換保持圖形全等，但圖形方位可能有變化。在幾何解題中，旋轉的作用是使原有圖形的性質得以保持，但改變其位置，使能組合成新的有利論證的圖形。
競賽知識點
一、 平移變換
二、 軸對稱變換
1． 定義 設l是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X’，使得X與X‘關於直線l對稱，則S叫做以l為對稱軸的軸對稱變換。記為XX’，圖形FF‘ 。
三、 旋轉變換
1． 定義 設α是一個定角，O是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點O仍變到O（不動點），而把平面圖形F上任一點X變到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，則R叫做繞中心O，旋轉角為α的旋轉變換。記為XX‘，圖形FF’ 。
其中α<0時，表示∠XOX‘的始邊OX到終邊OX’的旋轉方向為順時針方向；α>0時，為逆時針方向。
四、 位似變換
其中k>0時，X’在射線OX上，此時的位似變換叫做外位似；k<0時, X‘在射線OX的反向延長線上，此時的位似變換叫做內位似。
2． 主要性質 在位似變換下，一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變為共線點，共點線變為共點線；對應線段的比等於位似比的絕對值，對應圖形面積的比等於位似比的平方；不經過位似中心的對應線段平行，即一直線變為與它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關係保持不變；圓變為圓，且兩圓心為對應點；兩對應圓相切時切點為位似中心。
例題剖析
【例1】P是平行四邊形ABCD內一點，且∠PAB=∠PCB。
求證：∠PBA=∠PDA。
【分析】作變換△ABP△DCP’，
則△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四邊形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四點共圓。故∠6=∠7，即∠3=∠4。
【例2】“風平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。
求證：S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘<S△OPQ。
【分析】作變換△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，則R’、R‘’重合，記為R。P、R、Q共線，O、A、Q共線，O、B‘、P共線，△OPQ為等邊三角形。
∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’<S△OPQ
【分析】取AC、BD的中點E、F，令ACA‘C’，則A‘BC’D是一個符合條件的平行四邊形。延長AF、CC‘交於G。
∵E是AC的中點且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分別為AG、CG的中點。
∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。
同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。
【評註】當已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。
【例4】P是⊙O的弦AB的中點，過P點引⊙O的兩弦CD、EF，連結DE交AB於M，連結CF交AB於N。求證：MP=NP。（蝴蝶定理）
【分析】設GH為過P的直徑，FF’F，顯然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四點共圓。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【例5】⊙O是給定銳角∠ACB內一個定圓，試在⊙O及射線CA、CB上各求一點P、Q、R，使得△PQR的周長為最小。
【分析】在圓O上任取一點P0，令P0P1，P0P2，連結P1P2分別交CA、CB於Q1、R1。顯然△P0Q1R1是在取定P0的情況下周長最小的三角形。
設P0P1交CA於E，P0P2交CB於F，則P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。
∴當CP0取最小值時，EF為最小，從而△P0Q1R1的周長為最小，於是有作法：
連結OC，交圓周於P，令PP1，PP2，連結P1P2分別交CA、CB於Q、R。則P、Q、R為所求。
【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC於D，△PQR是它的任一內接三角形。求證：PQ+QR+RP>2AD。
【分析】設PP’，PP‘’。則RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。
∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。
又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A點線上段P‘P’‘上或在凸四邊形P’RQP‘’的內部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。
∴PQ+QR+RP>2AD。
【分析】延長BP到E，使PE=BP，延長CQ到F， 使QF=CQ，則△BAE、△CAF都是等腰三角形。
顯然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。
而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。
【例8】已知O是△ABC內一點，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC內任一點，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O為費馬點）
【分析】將CC‘，OO’， PP‘，連結OO’、PP‘。則△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。顯然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由於∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四點共線。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
【例9】⊙O與△ABC的三邊BC、CA、AB分別交於點A1、A2、B1、B2、C1、C2，過上述六點分別作所在邊的垂線a1、a2、b1、b2、，設a1、b2、c1三線相交於一點D。求證：a2、b1、c2三線也相交於一點。
∴a1a2。
同理，b1b2，c1c2。
∴a1、b2、c1的公共點D在變換R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共點，即a2、b1、c2三線也相交於一點。
【例10】AD是△ABC的外接圓O的直徑，過D作⊙O的切線交BC於P，連結並延長PO分別交AB、AC於M、N。求證：OM=ON。
【分析】過B作MN的平行線，分別交AD、AC於O'、N'
∵M、O、N三點共線，∴B、O‘、N’三點共線，且O’B:OM=O’N’:ON
取BC中點G，連結OG、O‘G、DG、DB。
∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四點共圓。
∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，
∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四點共圓。
∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，
而G是BC的中點，∴O‘是BN’的中點，O‘B= O’ N‘，
∴OM=ON
