旋轉變換

簡介

簡稱旋轉。歐氏幾何中的一種重要變換.即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換。此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換。

發音:旋(xuán)轉(zhuàn ）。英文：rotation

在平面內，把一個圖形繞點O旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，旋轉的角叫做旋轉角，如果圖形上的點P經過旋轉變為點Pˊ，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。

: 　①對應點到旋轉中心的距離相等（意味著：旋轉中心在對應點所連線段的垂直平分線上）。

②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。　③旋轉前、後的圖形全等。

旋轉三要素：　①旋轉中心；　

②旋轉方向；

③旋轉角度。

注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣。

旋轉變換的作圖：①確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度；②找出能確定圖形的關鍵點；③連結圖形的關鍵點與旋轉中心，並按旋轉的方向分別將它們旋轉一個角，得到此關鍵點的對應點；④按原圖形的順序連結這些對應點，所得圖形就是旋轉後的圖形。

旋轉對稱性：如果某圖形繞著某個定點轉動一定角度（小於360°）後能與自身重合，那么這種圖形就叫做旋轉對稱圖形。（結合網路及教輔書籍）

假設初始點P=(Xo,Yo)T 中心點O(Cx,Cy)T 矩陣A[2×2]=

(T表示轉置,θ為從P到P'的旋轉角差值)

那么P'=A×(P-O)+O

即P'=((Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ+Cx,(Xo-Cx)×sinθ+(Yo-Cy)×cosθ+Cy)

證明：

設圓心為O(Cx,Cy)T ,半徑為r=|P-O|的圓C為:

x=Cx+r×cosα

y=Cy+r×sinα

則P點位於圓上,設向量(OP)與x軸夾角是β;

另設一點P'在圓上，且向量(OP)與向量(OP')的夾角是θ,可得:

P'x=Cx+r×cos(β+θ)=Cx+(r×cosβ)×cosθ-(r×sinβ)×sinθ -----------①

P'y=Cy+r×sin(β+θ)=Cx+(r×sinβ)×cosθ+(r×cosβ)×sinθ -----------②

由於:

Xo=Cx+r×cosβ

Yo=Cy+r×sinβ

得到:

r×cosβ=Xo-Cx

r×sinβ=Yo-Cy

代入①②得:

P'x=Cx+(Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ

P'y=Cy+(Yo-Cy)×cosθ+(Xo-Cx)×sinθ