尺規作圖問題

尺規作圖問題

尺規作圖(Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)問題是起源於古希臘數學課題。只使用圓規直尺,並且只準許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題。不可能用尺規作圖完成的作圖問題,稱為尺規作圖不能問題,如三等分角問題、化圓為方問題等。

基本介紹

  • 中文名:尺規作圖問題
  • 外文名:problem of construction withruler and compass
  • 相關知識:三角等分、化圓為方、倍立方問題
  • 起源:古希臘數學課題
簡介,原理,問題,古希臘三大難題,正多邊形作法,四等分圓周,

簡介

尺規作圖問題是起源於古希臘數學課題,只使用圓規直尺,並且只準許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題。值得注意的是,以上的“直尺”和“圓規”是抽象意義的,跟現實中的並非完全相同,具體而言,有以下的限制:
(1)直尺必須沒有刻度,無限長,且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起,不可以在上畫刻度;
(2)圓規可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。
尺規作圖的研究,促成數學上多個領域的發展,許多數學結果就是為解決古希臘三大難題而得出的副產品,對尺規作圖的探索推動了對圓錐曲線的研究,並發現了一批著名的曲線。若干著名的尺規作圖已知是不可能的,而當中很多不可能的例子是利用了19世紀出現的伽羅瓦理論以證明。儘管如此,仍有很多業餘愛好者嘗試這些不可能的題目,當中以化圓為方及三等分任意角(Angle trisection)最受注意。

原理

以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:
(1)通過兩個已知點可作一直線;
(2)已知圓心和半徑可作一個圓;
(3)若兩已知直線相交,可求其交點;
(4)若已知直線和一已知圓相交,可求其交點;
(5)若兩已知圓相交,可求其交點。
圖1.作圖公法圖1.作圖公法

問題

古希臘三大難題

古希臘三大難題是早期希臘數學家特別感興趣的三個問題。由於我們的現代幾何學知識是從希臘發源的,因此這三個古典幾何問題在幾何學中有著很高的地位。它們分別是:
(1)化圓為方問題:即求一個正方形的邊長,使其面積與一已知圓的相等;
(2)三等分角問題:即求一角使其角度是一已知角度的三分之一(可用只有一點刻度的直尺與圓規作出);
(3)倍立方問題:即求一立方體的棱長,使其體積是一已知立方體的二倍(可以用木工的角尺作出)。
歐幾里得幾何學的限制下,以上三個問題都不可能解決。

正多邊形作法

(1)只使用直尺和圓規,作正五邊形
(2)只使用直尺和圓規,作正六邊形
(3)只使用直尺和圓規,作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目,曾經使許多著名數學家都束手無策,因為正七邊形已被證明是不能由尺規作出的。
(4)只使用直尺和圓規,作正九邊形,此圖也不能作出來,因為單用直尺和圓規,是不足以把一個角分成三等份的。
問題的解決:高斯大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法,並給出了可用尺規作圖的正多邊形的充分條件:尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方乘以任意個(可為0個)不同的費馬素數的積,解決了兩千年來懸而未決的難題。1832年,Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。1900年左右,Hermes花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,可以說是最複雜的尺規作圖。

四等分圓周

這道題只準許使用圓規,要求參與者將一個已知圓心的圓周4等分。這道題傳言是拿破崙·波拿巴擬出,向全法國數學家挑戰的。這道題已被證明有解。

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