正十七邊形

正十七邊形是指幾何學中有17條邊及17隻角的正多邊形。正十七邊形的每個內角約為158.823529411765°，其內角和為2700°，有119條對角線。最早發現其形狀可用尺規作圖法作出的是高斯。

基本介紹

• 中文名：正十七邊形
• 外文名：Heptadecagon
• 類別：形狀的一種
• 適用範圍：幾何學
• 對角線：119條
• 內角和：2700°

起源

最早的十七邊形畫法創造人是高斯【1801年數學家高斯證明：如果費馬數k為質數，那么就可以用直尺和圓規將圓周k等分。但是，高斯本人並沒有用尺規做出正十七邊形，事實上，完成證明之後正十七邊形的做法對數學研究者是顯而易見的。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法是在1825年由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出.】。

高斯（1777─1855年）德國數學家、物理學家和天文學家。高斯在童年時代就表現出非凡的數學天才。年僅三歲，就學會了算術，八歲因運用等差數列求和公式而深得老師和同學的欽佩。大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件。解決了兩千年來懸而未決的難題，1799年以代數基本定理的四個漂亮證明獲博士學位。高斯的數學成就遍及各個領域，在數學許多方面的貢獻都有著劃時代的意義。並在天文學，大地測量學和磁學的研究中都有傑出的貢獻。

作法

先計算或作出cos(360°/17)

設正17邊形中心角為a，則17a=360°,即16a=360°-a

故sin 16a=-sin a，而

sin 16a=2sin 8a·cos 8a=4sin 4a·cos 4a·cos 8a=16sin a·cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a

因sin a不等於0，兩邊除之有：

16cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a=-1

又由2cos a·cos 2a=cos a+cos 3a(三角函式積化和差公式)等

注意到cos 15a=cos 2a,cos 12a=cos 5a(誘導公式)等，有

2(cos a+co s2a+…+cos 8a)=-1

令

x=cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a

y=cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a

有：

x+y=

又xy=(cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a)(cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a)

=(cos 2a+cos 4a+cos 4a+cos 6a+…+cos 14a+cos 15a)

經計算知xy=-1

因而：x=,y=

其次再設：=cos a+cos 4a,x2=cos 2a+cos 8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=

y1+y2=

最後，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表達式,

它是有理數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出

做法

1.給一圓O，作兩垂直的直徑AB、CD.

2.在OA上作E點使OE=1/4AO,連結CE.

3.作∠CEB的平分線EF.
4.作∠FEB的平分線EG,交CO於P.
5.作∠GEH=45°,交CD於Q.
6.以CQ為直徑作圓,交OB於K.
7.以P為圓心,PK為半徑作圓,交CD於L、M.
8.分別過M、L作CD的垂線,交圓O於N、R.
9.作弧NR的中點S,以SN為半徑將圓O分成17等份.

簡易作法

因為360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用該方法作正十七邊形總誤差為17*4′=68′，在不要求十分精確的情況下還是可行的。

作法如下：

1.先畫一條直線，用圓規在上面截取5條相等線段，(儘量越短越好),再截取之前四條線段的和，接續之前畫的線段。這樣，如果每條小線段算作0.1的話，那么整條線段就是1.8。

2.用圓規截取之前5條小線段的長，畫5次，這樣這條線段就是5。1.8/5=0.36。準備工作完畢！

3.另作一條直線，作垂線，1.8的線段作為對邊，5的線段作為斜邊，那個最小的銳角即是近似的360°/17的角。以其頂點為圓心，重複作角直至閉合。畫一大圓，連線其與17條射線的交點，即可。