對數求導法

對數求導法是一種求函式導數的方法。

取對數的運算可將冪函式、指數函式及冪指函式運算降格成為乘法運算，可將乘法運算或除法運算降格為加法或減法運算，使求導運算計算量大為減少。

對數求導法套用相當廣泛。

基本介紹

• 中文名：對數求導法
• 領域：數學
• 作用：求函式導數
• 優點：求導運算計算量大為減少

定義

對求導的函式 其兩邊先取對數 ，再同求導 ，就得到求導結果 。

這種求導方法就稱為取對數求導法。簡稱對數求導法。

原理

對數求導法的原理就是

（1）換底，即 ；

（2）複合函式求導法則，即 。

適用性

函式 是乘積形式、商的形式、根式、冪的形式、指數形式或冪指函式形式的情況，求導時比較適用對數求導法，這是因為：取對數可將乘法運算或除法運算降格為加法或減法運算，取對數的運算可將根式、冪函式、指數函式及冪指函式運算降格成為乘除運算。

求導舉例

（1）設 ，求 。

解 取對數得，求導得，所以。

（2）設，求。

解取對數得，

求導得，

所以。

（3）設函式由方程所確定，且已知，求。

解方程兩邊對求導，得，，，求得

將代入得。

注 這裡由於整體上是個減法，所以先取對數沒有用。如果寫為，那是錯的，對數沒有這樣的運算性質。

套用舉例

求函式在區間上的最小值，函式在區間上的最大值。

解和在區間上連續且可導，

（1）取對數得，求導得，所以，

x	(0,1/e)	1/e	(1/e,+∞)
f '(x)	負	0	正
f(x)	單調減少	最小值	單調增加

函式在區間上的最小值為

（2）取對數得，求導得，所以，

x	(0,e)	e	(e,+∞)
g'(x)	正	0	負
g(x)	單調增加	最大值	單調減少

函式在區間上的最大值為。