對偶原理，又叫對偶原則。對偶原理是指在射影空間中，若一個命題成立，則其對偶命題也必成立。
基本介紹
- 中文名：對偶原理
- 外文名：dual principle
- 拼音：Duì ǒu yuán zé
- 學科：數理科學
- 別名：對偶原則
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基礎知識,產生,性質,具體內容,套用,
基礎知識
例如，德沙格定理是有關點、直線以及它們的銜接關係的定理，它是一個射影定理。它的對偶定理就是它的逆定理。該原理也可推廣到n維射影空間中去。
產生
柏斯卡著名的“神秘的六邊形”定理和布里安昌定理都具有對偶關係，其中前一定理是帕斯卡在1640年於其標題為《略論圓錐曲線》的一張大幅印刷品中公布的；而後一定理則是在1806年由巴黎高等工藝學院的學生C.J.BrianCho首先發表的。這兩個定理的出現，時間間隔長達150多年。在這期間，數學家們己經注意到，如果將關於平面圖形定理中的點和直線互換的話，得到的相應陳述往往是正確的。至於出現這種現象的原因是什麼，當時尚不清楚。這種現象，在今天看來，即是對偶現象。布里安昌當時對對偶原理儘管不大明確因而亦不太相信，但是他的上述定理的發現還是受對這種現象的模糊認識影響的。
在歷史上，首先對對偶原理加以研究並將它作為一種研究數學的重要工具加以利用的，是法國的數學家J.V彭賽列。他在建立射影幾何理論時做到了這一點，他將對偶現象出現的原因歸結於極點和極線間的一種對應關係(特殊對射)，關於平面圖形的定理在這種變換下保持它的真理性一即圖形性質實際上是這種對應變換(配極)的一種不變數。他在1822年寫的《論圖形的射影性質》(在巴黎出版)和在1824年提交巴黎科學院的《衍合配極的一般理論》中，給出了極點和極線相互變換的一般表述，並以此建立了許多定理。不過，在這一時期，他利用配極來建立的對偶原理，是需要一個圓錐曲線來作中介的，也就是說這時的對偶原理還不具有像現在的一般形式。突破這種局限性的，是數學家吉爾崗尼，他堅決主張對偶原理是個普遍原理，適用於除涉及度量性質外的一切陳述和定理，極點和極線是不必要的中介支撐物。“對偶性”一詞就是首先由他引進的。他將這一詞用來表示一定理和由此變換(點、直線互換)出的新定理間的關係，而且為清晰起見，他還發明了將對偶定理寫在原定理的旁邊並排放置的做法。儘管吉爾崗尼擺脫了彭賽列對偶原理陳述的束縛，擴大了原理的套用範圍，但是他的表述也是有缺陷的。
19世紀中葉以前，對偶原理從理論上被弄清了，但使用它的正確的邏輯基礎當時還沒明確。直到20世紀初公理化方法建立起來以後，人們才在從自對偶公理組的角度來建立射影幾何體系的成功嘗試中得到了這一原理的邏輯證明。由於對偶原理對射影幾何的發展起了重大的推動作用，推動了數學家們對其在格論、一般布爾代數系統、布爾代數、集合代救、偏序集、範疇論等領域中套用的研究。
綜上可知，對偶原理作為一種方法，經歷了一個由提出、認識模糊到認識清楚及由一個領域擴展到多個領域甚至整個數學領域的過程。
性質
對偶原理是一座橋樑，藉助於它，可以從數學某領域中的一定理走到另一定理(對偶定理)，當前一定理從邏輯上被證明後，後一定理的正確性是無須再證的。即對偶原理具有真的特點。
另一方面，對偶原理對於數學的發展具有很重要的促進作用，也就是說它在數學領域中具有實用價值，因而具有善的特點。
最後通過對對偶原理的具體分析，對偶原理刻畫了數學理論的一種對稱性，而對稱具有美的特徵，所以它也是一種具體的數學美學的方法。
具體內容
數學中的對偶原理
1.如果兩個三角形的對應頂點的連線相會於一點，則這兩個三角形的對應邊的交點必定在同一直線上。
（如果兩個三角形的對應邊的交點在同一直線上，則這兩個三角形的對應頂點的連線必定相會於一點。）
2.一個六邊形的六個頂點在一條二次曲線上，若且唯若，該三對對邊的交點在一條線上。
（一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，若且唯若，聯該三對頂點的線交於一點。）
物理中的對偶原理
在電磁學中，均勻介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場有對偶關係，電位移矢量D與電流密度矢量J，電荷q與電流I對偶。電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯與並聯、電阻與電導、電容與電感，都存在對偶關係。在使用節點電壓法和迴路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。
現代控制理論中的對偶原理
在自動控制論中，有時候需要研究系統的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統方程帶來很多方便。
