極線(數學中的極線)

在數學中， 極線通常是一個適用於圓錐曲線的概念，如果圓錐曲線的切於A,B兩點的切線相交於P點，那么P點稱為直線AB關於該曲線的極點(pole)，直線AB稱為P點的極線(polar)。

基本介紹

• 中文名：極線
• 外文名：polar
• 套用領域：數理科學

極線的幾何定義

但是上面定義僅適用於P點在此圓錐曲線外部的情況。實際上，在P點在圓錐曲線內部的時候同樣可以定義極線，這時我們可以認為極線是過P點做此圓錐曲線兩條虛切線切點的連線.特別的，如果這個圓錐曲線是一個圓，我們同樣有圓的極線和極點的概念。

極線的幾何性質

對於圓錐曲線,兩個點的切線的交點的極線即這兩點的連線。此外，過不在圓錐曲線上任意一點做兩條和此曲線相交的直線得出四個點，那么這四個點確定的四邊形的對角線交點在該點的極線。我們也可以把這個性質作為圓錐曲線的極線的定義。

而當一個動點移動到曲線上，那么它的極線就退化為過這點的切線， 所以，極點和極線的思想實際上是曲線上點和過該點切線的思想的一般化。

極線的代數形式

對於一般的圓錐曲線,我們可以將它的方程寫成矩陣形式

[x,y,1]A[x,y,1]^T=0

其中[x,y,1]^T表示這是一個列向量,其中A是一個3*3矩陣.那么對於平面上任意一個點(x0,y0)，其對應極線方程即 [x0,y0,1]A[x,y,1]^T=0。而這個同圓錐曲線的切線方程也是一致的。

反演變化中的極線

在反演變換中，如果反演中心為O，P點經過反演變換後得到P'，則過P'垂直PO（O、P、P'共線）的直線稱為P點的極線(polar)，P稱為該直線的極點(pole)。實際上,這個定義同前面圓錐曲線的極線和極點是一致的,只是這裡的圓錐曲線取為這個反演變換的反演圓。