直線(數學概念)

直線由無數個點構成。直線是面的組成成分，並繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延長，長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數條對稱軸，其中一條是它本身，還有所有與它垂直的直線（有無數條）對稱軸。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數條類似直線。

構成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬於基本概念，由他們之間的關聯關係和五組公理來界定。

基本介紹

• 中文名：直線
• 外文名：straight line
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：幾何學
• 相關術語：直線方程
• 定義：由無數個點構成

直線方程

平面方程

一般式

適用於所有直線的方程：

（其中 、 不能同時為0）

點斜式

知道直線上一點 ，並且直線的斜率 存在，則直線可表示為：

當 不存在時，直線可表示為：

斜截式

知道直線在 軸上截距為 （即經過點 ），斜率為 ，直線可表示為：

當 不存在時，直線可表示為：

截距式

知道直線與 軸交於 ，與 軸交於 ，則直線可表示為：

當 、 均不為0時，斜截式可寫為

該表達式不適用於和任意坐標軸垂直的直線

兩點式

知道直線經過點 和點 ，且斜率存在，則直線可表示為：

法線式

其中 為原點到直線的距離， 為法線與 軸正方向的夾角

點方向式

知道直線上一點 ， 、 不等於0，並且直線不與 軸、 軸平行，則直線可表示為：

點法向式

空間方程

1. 一般方程：

2. 點向式方程：

設直線方向向量為（m,n,p ），經過點（ x₀,y₀,z₀）

3. x0y式

x=kz+b,y=lz+b

有關內容

“角”

設平面e的法向量為c 直線m、n的方向向量為a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量為（a,b,c）；直線x=kz+b,y=lz+a的方向向量為(k,l,1)代入即可

則直線所成的角：m，n所成的角為a。

cosa=cos<a,b>=|a*b|/|a||b|

直線和平面所成的角： 設b為m和e所成的角，則b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

平面兩直線所成的角：設K(l₁)=k₁,K(l₂)=k₂(k₁k₂≠-1),tan<l₁,l₂>=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)

距離

異面直線的距離：l₁、l₂為異面直線，l₁，l₂公垂直線的方向向量為n、C、D為l₁、l₂上任意一點，l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|

點到平面的距離：設PA為平面的一條斜線，O是P點在a內的射影，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離；

點到直線的距離：A∈l,O是P點在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。

易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|²|s|²|-|PA*s|²)^1/2/|s|

平面內：直線ax+by+c=0到M(m,n)的距離為|am+bn+c|/(a²+b^2)1/2

平行直線：l1：ax+by+c=0,l2：ax+by+d=0，l1到l2的距離為|c-d|/(a²+b²)^1/2

備註：

直線是曲線的暫短停留。

套用

點與直線

一般情況下，點與直線的距離，是指點到直線的最短距離，即垂直距離。

在二維直角坐標中，直線 Ax+By+C=0 與點 (p,q) 的最短距離為

給出向量式 和 點 ，則有距離

直線相交點

不考慮重合的情形，在二維平面中，兩條相交直線可以相交或平行。

給定兩條直線 和 ，二者相交的條件是

。

或等價地，

，

當中 。

這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

相交直線夾角

若兩線相交，則會形成夾角。兩線之間的夾角，通常指不大於90°的一隻。

在二維平面上，給定直線y=mx+b，該線與x-軸的夾角為

。

給定兩條直線 和 ，二者互相垂直若且唯若

。

而其他情況，兩線相交所形成的夾角 （），則由

給出。

給定相交直線向量式 和 ，則有

。

直線的距離

一般情況下，兩條直線的距離，是指最短距離。

二維情況下，兩條相交直線的距離必然為 0 。

若有兩條平行直線 及，則有距離

。

給定平行向量式 和 ，則有

。