因式

因式

多項式被另一多項式整除,後者即是前者的因式,如果多項式 f(x) 能夠被整式 g(x) 整除,即可以找出一個多項式 q(x) ,使得 f(x)=q(x)·g(x),那么g(x) 就叫做 f(x) 的一個因式。當然,這時 q(x) 也是 f(x) 的一個因式,並且 q(x) 、g(x) 的次數都不會大於 f(x) 的次數。

基本介紹

  • 中文名:因式
  • 外文名:factor
  • 分類:數理科學
概念,因式分解,定義,方法,

概念

如果多項式 f(x) 能夠被整式 g(x)整除,即可以找出一個多項式 q(x) ,使得 f(x)=q(x)·g(x),那么g(x) 就叫做 f(x) 的一個因式。一個數也可以看做一個因式。
注意:g(x)≠0,但 q(x) 可以等於0(當 f(x)=0 時)。

因式分解

定義

把一個多項式化成幾個整式乘積的形式,這種變形叫做分解因式,又叫做因式分解。
可以直接計算,或運用公式。
常用的公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
註:通常情況下,分解因式要求分解徹底,即所有因式均無法再次分解因式。

方法

⑴提公因式法
公因式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.。
例如:am+bm+cm=m(a+b+c)
③具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的,一般要提出“-”號,使括弧內的第一項的係數是正的.
⑵公式法
平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)。
立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)。
完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)
⑶分組分解法
分組分解法把一個多項式分組後,再進行分解因式的方法。
分組分解法必須有明確目的,即分組後,可以直接提公因式或運用公式。
⑷拆項、補項法
拆項、補項法:把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法分組分解法進行分解;要注意,必須在與原多項式相等的原則進行變形。
⑸十字相乘法
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
ac=k bd=n
ad+bc=m
※ 多項式因式分解的一般步驟:
①如果多項式的各項有公因式,那么先提公因式;
②如果各項沒有公因式,那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;
④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
⑹套用因式定理
如果f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定(x+2)是x^2+5x+6的一個因式。

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