最大公因式

最大公因式有兩個含義：第一，首先是公因式；第二，又是所有公因式的倍式，即體現“最大性”。兩多項式的最大公因式一定存在且不唯一，但是首項係數為1的最大公因式是唯一的。求最大公因式可以用輾轉相除法來得到。

基本介紹

• 中文名：最大公因式
• 外文名：the greatest common factor
• 求解方法：輾轉相除法

定義

設 、 是數域 上的多項式，即 ，若存在 是 、 的公因式，且 是 和 所有公因式的倍式，則稱 為 和 的最大公因式，記為

所以，最大公因式有兩個含義：第一，首先是公因式；第二，又是所有公因式的倍式，即體現“最大性”。

性質

①設、是數域上的多項式且不全為0，則其最大公因式一定存在。

②若與都是和的最大公因式，那么與最多相差一個非零常數因子，即。另一方面，和的最大公因式與任意非零常數的乘積也是其最大公因式。因此，最大公因式不是唯一的，但首項係數為1的最大公因式是唯一的。

③，即任意的和0的最大公因式是自身。

④若整除，即整除，則。

輾轉相除法

輾轉相除法是求最大公因式的一種行之有效的方法，過程敘述如下：

設、是數域上的多項式且不全為0，不妨設。利用帶餘除法，以除得。若，再以除得。若，則又用除。如此繼續下去，每一步都至少使得餘式降低一次，經過有限次帶餘除法後，必然得到這樣一個，它整除，即。此時即為、的最大公約數。