立方和公式是有時在數學運算中需要運用的一個公式。該公式的文字表達為：兩數和，乘它們的平方和與它們的積的差，等於這兩個數的立方和。
基本介紹
- 中文名：立方和公式
- 外文名：cubic metre
- 內容：立方和的公式
- 套用領域：數學
- 分類：立法和、立方差
- 證明方法：疊代法、排列組合、、幾何法
公式,立方和公式,立方差公式,三項立方和公式,推導過程：,完全立方公式,分解步驟如下,解題時常用它的變形：,公式證明,疊代法一,疊代法二,排列組合法,因式分解證明,幾何驗證,
公式
立方和公式
立方差公式
三項立方和公式
推導過程：
立方和：
a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2（a+b）-b（a2-b2）
=a2（a+b）-b（a+b）（a-b）
=（a+b）[a2-b（a-b）]
=（a+b）[a2-b（a-b）]
=（a+b）（a2-ab+b2）
立方差：
a3-b3
=a3-b3+a2b-a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=[a2+b(a+b)](a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)
完全立方公式
分解步驟如下
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
解題時常用它的變形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3
立方和累加
正整數範圍中
註：可用數學歸納法證明
公式證明
疊代法一
我們知道：
0次方和的求和公式
，即
1次方和的求和公式
，即
具體如下：
(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1
利用上面這個式子有：
23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1
33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1
43 - 33 = 3×32 + 3×3 + 1
53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1
……
(n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1
把上述各等式左右分別相加 得到：
(n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)
其中12 + 22 + 32 + …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33 + …… + n3=[n(n+1)/2]2
疊代法二
取公式：
係數可由楊輝三角形來確定
那么就得出：
…………
於是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左邊=
右邊=
把以上這已經證得的三個公式代入，
得
移項後得
等號右側合併同類項後得
即
推導完畢。
排列組合法
設數列{
}=n(n+1)(n+2)，其n項和為
，且設
=
+
+
+…+
，則
=
=
=
+3
+2
=
+3×
+2×
=+
+n(n+1)
又=1×（1+1）×(1+2)+2×（2+1）×(2+2)+…+n(n+1)（n+2）
=
+
+
+…+
=(
+
+
+…+
)
=(
+++…+)
=(
+
+
+…+)
=(
+
+…+)
=…
=
=6
∴
由此得=
。
因式分解證明
幾何驗證
透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。根據右圖，設兩個立方，總和為：
圖象化立方和公式
圖象化立方和公式
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：
要得到
，可使用
的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：
·
·
·
把三個部分加在一起，便得：
=
=
之後，把
減去它，便得：
公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：
=
