周期函式

周期函式

對於函式y=f(x),如果存在一個不為零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函式y=f(x)叫做周期函式,不為零的常數T叫做這個函式的周期。事實上,任何一個常數kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。並且周期函式f(x)的周期T是與x無關的非零常數,且周期函式不一定有最小正周期。

基本介紹

  • 中文名:周期函式
  • 外文名:periodic function
  • 所屬範圍:函式
  • 最小正周期:定義中的常數T
  • 套用領域數學
  • 適用範圍:代數學,解析幾何
定義,性質,判定定理,定理1,定理2,定理3,定理4,定理5,判定方法,

定義

設f(x)是定義在數集M上的函式,如果存在非零常數T具有性質:f(x+T)=f(x),則稱f(x)是數集M上的周期函式,常數T稱為f(x)的一個周期。如果在所有正周期中有一個最小的,則稱它是函式f(x)的最小正周期
由定義可得:周期函式f(x)的周期T是與x無關的非零常數,且周期函式不一定有最小正周期,譬如狄利克雷函式
正弦函式圖象正弦函式圖象

性質

周期函式的性質共分以下幾個類型:
(1)若T(≠0)是f(x)的周期,則-T也是f(x)的周期。
(2)若T(≠0)是f(x)的周期,則nT(n為任意非零整數)也是f(x)的周期。
(3)若T1與T2都是f(x)的周期,則T1±T2也是f(x)的周期。
(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。
(5)若T1、T2是f(x)的兩個周期,且T1/T2是無理數,則f(x)不存在最小正周期。
(6)周期函式f(x)的定義域M必定是至少一方無界的集合

判定定理

周期函式定理,一共分一下幾個類型。

定理1

若f(x)是在集M上以T*為最小正周期的周期函式,則K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分別是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*為最小正周期的周期函式。
∵T*是f(x)的周期,∴對 有X±T* 且f(x+T*)= f(x),∴K f(x)+C=K f(x+T*)+C,
∴K f(x)+C也是M上以T*為周期的周期函式。
假設T* 不是Kf(x)+C的最小周期,則必存在T’(0<T’<T*)是K f(x)+C的周期,則對T’(0<T’<T*)是K f(x)+C的周期,有K f(x+T’)+C=K f(x) +C K[f(x+T’)- f(x)]=0,∵K≠0,∴f(x+T’)- f(x)=0,∴f(x+T’)= f(x),
∴T’是f(x)的周期,與T*是f(x)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(x)+C的最小正周期。
同理可證1/ f(x)是集{X/ f(x) ≠0,X }上的以T*為最小正周期的周期函式。

定理2

若f(x)是集M上以T*為最小正周期的周期函式,則f(ax+n)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a為最小正周期的周期函式,(其中a、b為常數)。
先證f(ax+b)的周期。
∵T*是f(x)的周期,∴f(x±T*)=f(x),有X±T*∈M,以ax+b替換x得,f(ax±T*+b)=f(ax+b),此時ax+b∈M,提取a為公因式得,f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f(ax+b)的周期。
再證是f(ax+b)的最小正周期。
假設存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,則f(a(x+T’/a)+b)=f(ax+b),用x/a-b/a替換x,得f(x+T’)=f(x)
∴T’是f(x)的周期,但 T’<T*這與T*是f(x)的最小正周期矛盾。
∴不存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,即f(ax+b)的最小正周期為T*/ a。

定理3

設f(u)是定義在集M上的函式,u=g(x)是集M1上的周期函式,且當X∈M1時,g(x)∈M,則複合函式f(g(x))是M1上的周期函式。
證:
設T是u=g(x)的周期,則 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x))是M1上的周期函式。
例1
設=f(u)=u2是非周期函式,u= g(x)=cosx是實數集R上的周期函式,則f(g(x))=cos2x是R上的周期函式。
同理可得:⑴f(x)=Sin(cosx),⑵f(x)=Sin(tgx),⑶f(x)=Sin2x,⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函式。
例2
f(n)=Sinn是周期函式,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函式(中學數學中已證)。
例3
f(n)=cosn是周期函式,n=g(x)= (非周期函式)而f(g(x))=cos 是非周期函式。
證:假設cos 是周期函式,則存在T>0使cos (k∈Z) 與定義中T是與X無關的常數矛盾,
∴cos 不是周期函式。
由例2、例3說明,若f(u)是周期函式,u= g(X)是非周期函式,這時f(g(x))可能是,也可能不是周期函式。

定理4

設f1(x)、f2(x)都是集合M上的周期函式,T1、T2分別是它們的周期,若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函式,T1與T2的公倍 數為它們的周期。
證:
設 ((p·q)=1)設T=T1q=T2p,則有:有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M,且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ,∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍數T為周期的周期函式。同理可證:f1(x)、f2(x)是以T為周期的周期函式。
推論 
設f1(x) 、f2(x)……fn(x) 是集合M上的有限個周期函式T1、T2……Tn分別是它們的周期,若, … (或T1,T2……Tn中任意兩個之比)都是有理數,則此n個函式之和、差、積也是M上的周期函式。
例1
f(x)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最低公倍數2π為周期的周期函式。
例2
討論f(X)= 的周期性。
解:2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函式。
5tg 是以T2 為最小正周期的周期函式。
tg2 是以T3=為最小正周期的周期函式。
又都是有理數
∴f(x)是以T1、T2、T3最低公倍數(T1、T2、T3)=為最小正周期的周期函式。
同理可證:
⑴f(x)=cos ;
⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函式。

定理5

設f1(x)=sin a1x,f2(x)=cos a2x,則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈Q。
證:
先證充分性:
若a1/a2∈Q,設T1、T2分別為f1(x)與f2(x)的最小正周期 ,由定理4,可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式。
再證必要性(僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明)。
⑴設sina1x-cosa2x為周期函式,則必存在常數T>0,
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+T)sin = -2sin(a2x+T)sin ⑴。
令x= 得2cos(a1x+T),則 (K∈Z)。⑵
或 C∈Z⑶
又在⑴中令 2sin(a2x+T)sin =-2sin =0
由⑷
由sin ⑸
由上述⑵與⑶,⑷與⑸都分別至少有一個成立。
由⑶、⑸得⑹
∴無論⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵設sinaxcosa2x為周期函式,則 是周期函式。

判定方法

周期函式的判定方法分為以下幾步:
(1)判斷f(x)的定義域是否有界;
:f(x)=cosx(≤10)不是周期函式。
(2)根據定義討論函式的周期性可知非零實數T在關係式f(x+T)= f(x)中是與x無關的,故討論時可通過解關於T的方程f(x+T)- f(x)=0,若能解出與x無關的非零常數T便可斷定函式f(x)是周期函式,若這樣的T不存在則f(x)為非周期函式。
例:f(x)=cosx^2 是非周期函式。
(3)一般用反證法證明。(若f(x)是周期函式,推出矛盾,從而得出f(x)是非周期函式)。
例:證f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式。
證:假設f(x)=ax+b是周期函式,則存在T(≠0),使之成立 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0,aT=0 又a≠0,∴T=0與T≠0矛盾,∴f(x)是非周期函式。
例:證f(x)= ax+b是非周期函式。
證:假設f(x)是周期函式,則必存在T(≠0)對 ,有(x+T)= f(x),當x=0時,f(x)=0,但x+T≠0,∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(x)與f(x+T)= f(x)矛盾,∴f(x)是非周期函式。

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