最小正周期

最小正周期

如果一個函式f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期(minimal positive period).例如,正弦函式的最小正周期是2π.

根據上述定義,我們有:

對於正弦函式y=sinx, 自變數x只要並且至少增加到x+2π時,函式值才能重複取得正弦函式餘弦函式的最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω(其中ω必須>0)

基本介紹

  • 中文名:最小正周期
  • 外文名:minimal positive period
  • 領域:數學
  • 算法實例函式f(x)±g(x)最小正周期的求法
  • 基本概念:函式f(x)所有周期中最小的正數
  • 套用:圖像分析、信號處理
算法實例,定義法,公式法,最低公倍數法,圖象法,恆等變換法,補充問題,

算法實例

函式f(x)±g(x)最小正周期的求法

定義法

概念:根據周期函式和最小正周期的定義,確定所給函式的最小正周期。
例1、求函式y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
解:∵ =|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|
=f(x+π/2)
定義域內的每一個x,當x增加到x+π/2時,函式值重複出現,因此函式的最小正周期是π/2.(如果f(x+T)=f(x),那么T叫做f(x)的周期)。
例2 、求函式
的最小正周期。
解:把
看成是一個新的變數z,那么2sinz的最小正周期是2π。
由於
。所以當自變數x增加到x+4π且必須增加到x+4π時,函式值重複出現。
∴函式
的最小正周期是4π。

公式法

這類題目是通過三角函式的恆等變形,轉化為一個角的一種函式的形式,用公式去求,其中正餘弦函式求最小正周期的公式為T=2π/|ω| ,正餘切函式T=π/|ω|。
函式f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函式f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是,運用這一結論,可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一類三角函式的最小正周期(這裡“f”表示正弦、餘弦、正切或餘切函式)。
例3、求函式y=cotx-tanx的最小正周期.
解:y=1/tanx-tanx=(1-tan^2· x)/tanx=2*(1-tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
函式為兩個三角函式相加,若角頻率之比為有理數,則函式有最小正周期。

最低公倍數法

設f(x)與g(x)是定義在公共集合上的兩個三角周期函式,T1、T2分別是它們的周期,且T1≠T2,則f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最低公倍數,分數的最低公倍數=T1,T2分子的最低公倍數/T1、T2分母最大公約數
求幾個正弦、餘弦和正切函式的最小正周期,可以先求出各個三角函式的最小正周期,然後再求期最低公倍數T,即為和函式的最小正周期。
例4、求函式y=sin3x+cos5x的最小正周期.
解:設sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2,則T1=2π/3,T2=2π/5 ,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.
例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.
解:∵sin3x與tan2x/5 的最小正周期是2π/3與5π/2,其最低公倍數是10π/1=10π.
∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.
說明:幾個分數的最低公倍數,我們約定為各分數的分子的最低公倍數為分子,各分母的最大公約數為分母的分數。

圖象法

概念:作出函式的圖象,從圖象上直觀地得出所求的最小正周期。
例6、求y=|sinx|的最小正周期.
解:由y=|sinx|的圖象
可知y=|sinx|的周期T=π.
例7、求下函式的最小正周期。
最小正周期
(1)
(2)
解:(1)先作出函式
的圖象(見圖1)
觀察圖象,易得所求的周期為T=π/3。
(2)先作出
的圖象(見圖2)
最小正周期
觀察圖象,易得所求的周期為T=π。

恆等變換法

概念:通過對所給函式式進行恆等變換,使其轉化為簡單的情形,再運用定義法、公式法或圖象法等求出其最小正周期。
(1) f(x)=sin(x+π/3)cos(x-π/3)
(2) f(x)=sin6x+cos6x
(3) f(x)=
解 (1)
∴最小正周期為T= π
(2) f(x)=sin6x+cos6x
=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)
=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)
=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x
=1-3/4sin2x
=5/8+3/8cos4x
∴最小正周期為T=π/2
(3)
它與-cos2x的周期相同,故得 f(x)的最小正周期為T=π

補充問題

函式f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期為( B )
A.π/4 B.π/2 C.π D.2π

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們