李善蘭恆等式

在數學中，李善蘭恆等式（也稱為李善蘭求和公式）是一個組合學恆等式，由中國清代數學家李善蘭在《垛積比類》一書中首次提出。李善蘭別號壬叔，西方文獻也將這個恆等式稱為”李壬叔恆等式“，拼作Li Jen-Shu或Li Renshu。

基本介紹

• 中文名：李善蘭恆等式
• 外文名：Li Shanlan identity

表達式

李善蘭恆等式用現代數學符號表示就是

李善蘭的原始文獻中不是用這種數學符號表達，而是用語言來描述計算過程

證明方法

李善蘭沒有在《垛積比類》中給出這個恆等式的證明。現代數學則有許多方法證明，下面的組合代換法是比較簡單的一個。

由范德蒙恆等式得

兩邊同乘以 ，並利用關係式 ，上式可化為

再利用關係式 ，得

用范德蒙恆等式的另一種形式

故

然後由 給出

令，並把替換為，把替換為，即得李善蘭恆等式。