測圓海鏡

簡介

《測圓海鏡》所討論的問題大都是已知勾股形而求其內切圓、旁切圓等的直徑一類的問題。勾股形的解法是中國古代數學的重要內容之一。

此外，在中國古代數學的發展中，天元術起著重要的作用。在《測圓海鏡》問世之前，我國雖有文字代表未知數用以布列方程和多項式的工作，但是沒有留下很有系統的記載。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術，使文詞代數開始演變成符號代數。

所謂天元術，就是設“天元一”為未知數，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式，經相減後得出一個高次方程式，稱為天元開方式，這與現代設x為未知數列方程一樣。歐洲的數學家，只有到了16世紀以後才完全作到這一點。《測圓海鏡》全書170 題，基本上都是（依據《識別雜記》）列出天元式，求出勾股容圓問題的解。

李冶在40歲時便放棄功名，終生從事數學研究。他反對象數神秘主義，認為數學來自客觀的自然界，這些觀點反映在他自己寫的“《測圓海鏡》”序中，這在當時是十分可貴的，也是他在數學上取得重大成就的主要因素之一。清代阮元認為《測圓海鏡》是“中土數學之寶書”，李善蘭稱讚它是“中華算書實無有勝於此者”。

《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的"識別雜記"闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共六百餘條，每條可看作一個定理（或公式），這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。後面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程式，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，採用了從零到九的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。

《測圓海鏡》數學上的成就有三點：“天元術”，即列方程解決問題的一種“機械化”程式，相當於現代設x為未知數列方程的方法，這是一項具有世界意義的創舉；勾股形解法，把傳統的勾股形研究推進到一個新的層次；數學抽象化的新起點：此書雖然形式上仍採用問題集的表述方式，但問題顯然已不是從實際生活中得來的，而是出於數學研究的需要產生的，只是出於傳統，披上了“實用”的外衣，這對中國古代數學無疑是一種重要的突破和補充，就內容看，給出了一些專門的概念和公式(“識別雜記”)，採用了演繹推理的方法等，在中國數學思想發展中占有重要的地位。