基本介紹
- 中文名：數書九章
- 外文名：Mathematical Treatise in Nine Sections
- 分類：數學
- 地區：中國
- 作者：秦九韶
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圖書介紹
中國南宋數學家秦九韶撰。秦九韶早年曾在杭州學習，後又從隱君子學習數學，成年後先後在湖北、安徽、江蘇等地做官。1244年因母亡故回家守孝，潛心數學研究，於1247年9月著成《數術大略》，明代後期改名為《數書九章》。這是秦九韶唯一的數學著作，但僅此就使他成為中國宋元時期傑出的數學家之一。
《數書九章》最初叫《數術大略》或《數學大略》（9卷)，分為9類，每類為一卷。約到元代時更名為《數學九章》，內容也由9卷改為18卷。明初抄本被收入《永樂大典》（1408），另抄本藏於文淵閣。明代學者王應遴傳抄時定名為《數書九章》，明末學者趙琦美再抄時沿用此名。抄本形式流傳到清代，1781年由李銳校訂後收入《四庫全書》。1842年由宋景昌校訂後收入《宜稼堂叢書》第一次印刷出版，結束了近600年的傳抄歷史。1898年收入《古今算學叢書》，為第二次印刷。1936年又分別被收入《叢書集成初編》和《國學基本叢書》出版，流傳甚廣。目前還有十幾種抄本傳世，成為學者研討時的珍品。
分類
《數書九章》共列算題81問，分為9類，每類9個問題。主要內容如下：
⑴大衍類：一次同餘式組解法。⑵天時類：曆法計算、降水量。⑶田域類：土地面積。⑷測望類：勾股、重差。⑸賦役類：均輸、稅收。⑹錢穀類：糧谷轉運、倉窖容積。⑺營建類：建築、施工。⑻軍族類：營盤布置、軍需供應。⑼市物類：交易、利息。
內容
全書採用問題集的形式，並不按數學方法來分類。題文也不只談數學，還涉及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。
《數書九章》在數學內容上頗多創新。中國算籌式記數法及其演算式在此得以完整保存；自然數、分數、小數、負數都有專條論述，還第一次用小數表示無理根的近似值；卷1大衍類中靈活運用最大公約數和最低公倍數，並首創連環求等，藉以求幾個數的最低公倍數；在《孫子算經》中“物不知數”問題的基礎上總結成大衍求一術，使一次同餘式組的解法規格化、程式化，比西方高斯創用的同類方法早500多年，被公認為“中國剩餘定理”；卷17市物類給出完整的方程術演算實錄，書中還繼賈憲增乘開方法進而作正負開方術，使之可以對任意次方程的有理根或無理根來求解，比19世紀英國霍納的同類方法早500多年；書中卷5田域類所列三斜求積公式與公元1世紀希臘海倫給出的公式殊途同歸；卷7、卷8測望類又使《海島算經》中的測望之術發揚光大，再添光彩。
評價
今譯
（2005-7-13) 查有梁
秦九韶為《數書九章》寫的“序”，是一篇數學與語文高水平整合的傑作。如果我們要編一本《中華科技古文觀止》，那么，《數書九章·序》是必選的名著。我們要理解《數書九章》，不可不認真研讀秦九韶自己為此書寫的原序。只有認真研讀了《數書九章·序》，才能從整體上把握秦九韶的數學觀及其方法論。
這裡先展出《數書九章·序》的全部原文，讀者首先從原序中品味秦九韶的文采，再領會其中深邃的哲理。可能有些句子人們不甚了解，這也沒有關係。多讀幾遍，其義自見。《數書九章·序》的前半部是“文”，後半部是“詩”。我同樣先按文的形式，後照詩的形式，意譯這篇傑作，也許有助於讀者理解秦九韶的原序。我的譯文，只是嘗試，僅供參考。奇文共欣賞，疑義相與析。
原序
周教六藝，數實成之。學士大夫，所從來尚矣。其用本太虛生一，而周流無窮，大則可以通神明，順性命；小則可以經世務，類萬物，詎容以淺近窺哉?若昔推策以迎日，定律而知氣。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，況其間總總者乎？爰自河圖、洛書，闓發礻必奧，八卦、九疇，錯綜精微；極而至於大衍、皇極之用。而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。聖人神之，言而遺其粗；常人昧之，由而莫之覺。要其歸，則數與道非二本也。漢去古未遠，有張蒼、許商、乘馬延年、耿壽昌、鄭〔元〕、張衡、劉洪之倫，或明天道，而法傳於後；或計功策，而效驗於時。後世學者自高，鄙不之講，此學殆絕，惟治歷疇人，能為乘除，而弗通於開方衍變。若官府會事，則府史一二系之。算家位置，素所不識，上之人亦委而聽焉。持算者惟若人，則鄙之也宜矣。嗚呼！樂有制氏，僅記鏗鏘，而謂與天地同和者止於是，可乎？今數術之書，尚三十餘家。天象歷度，謂之綴術；太乙、壬、甲，謂之三式，皆曰內算，言其秘也。九章所載，即周官九數，繫於方圓者為蚩術，皆曰外算，對內而言也。其用相通，不可岐二。獨大衍法不載九章，未有能推之者，歷家演法頗用之，以為方程者誤也。且天下之事多矣，古之人先事而計，計定而行。仰觀俯察，人謀鬼謀，無所不用其謹，是以不愆於成，載籍章章可覆也。後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事餚殳缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不閒於藝。然早歲侍親中都，因得訪習於太史，又嘗從隱君子受數學。際時狄患，歷歲遙塞，不自意全於矢石間。嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落，信知夫物莫不有數也。乃肆意其間，旁諏方能，探索杳渺，粗若有得焉。所謂通神明，順性命，固膚末於見；若其小者，竊嘗設為問答，以擬於用。積多而惜其棄，因取八十一題，厘為九類，立術具草，間以圖發之。恐或可備博學多識君子之餘觀，曲藝可遂也。原進之於道，倘曰，藝成而下，是惟疇人府史流也，烏足盡天下之用，亦無瞢焉。
詩九首
時淳佑七年九月魯郡秦九韶敘。且系之曰：
一
崑崙磅礴，道本虛一。
聖有大衍，微寓於易。
奇余取策，群數皆捐。
衍而究之，探隱知原。
數術之傳，以實為體。
其書九章，惟茲弗紀。
歷家雖用，用而不知。
小試經世，姑推所為。
述大衍第一。
二
七精四穹，人事之紀。
追綴而求，宵星晝晷。
歷久則疏，性智慧型革。
不尋天道，模襲何益。
三農務穡，厥施自天。
以滋以生，雨膏雪零。
司牧閔焉，尺寸驗之。
積以器移，憂喜皆非。
述天時第二。
三
魁隗粒民，甄度四海。
蒼姬井之，仁政攸在。
代遠庶蕃，墾菑日廣。
步度庀賦，版圖是掌。
方圓異狀，斜窳殊形。
蚩術精微，孰究厥真。
差之毫厘，謬乃千百。
公私共弊，蓋謹其籍。
述田域第三。
四
莫高匪山，莫浚匪川。
神禹奠之，積矩攸傳。
智創巧述，重差夕桀。
求之既詳，揆之罔越。
崇深廣遠，度則靡容。
形格勢禁，寇壘仇墉。
欲知其數，先望以表。
因差施術，坐悉微渺。
述測望第四。
五
邦國之賦，以待百事。
田亥田經入，取之有度。
未免力役，先商厥功。
以衰以率，勞逸乃同。
漢猶近古，稅租以算。
調均錢穀，河菑之扦。
惟仁隱民，猶已溺飢。
賦役不均，寧得勿思。
述賦役第五。
六
物等斂賦，式時府庾。
粒粟寸絲，褐夫紅女。
商征邊糴，後世多端。
吏緣為欺，上下俱殫。
我聞理財，如智治水。
澄源浚流，維其深矣。
彼昧弗察，慘急煩刑。
去理益遠，吁嗟不仁。
述錢穀第六。
七
斯城斯池，乃棟乃宇。
宅生寄命，以保以聚。
鴻功雉制，竹個木章。
匪究匪度，財蠹力傷。
圍蔡而栽，如子西素。
匠計靈台，俾漢文懼。
惟武圖功，惟儉昭德。
有國有家，茲焉取則。
述營建第七。
八
天生五材，兵去未可。
不教而戰，維上之過。
堂堂之陣，鵝鸛為行。
營應規矩，其將莫當。
師中之吉，惟智仁勇。
夜算軍書，先計攸重。
我聞在昔，輕則寡謀。
殄民以幸，亦孔之憂。
述軍旅第八。
九
日中而市，萬民所資。
滯財役貧，封君低首。
逐末兼併，非國之厚。
述市易第九。
《數書九章·序》譯文
周代的教育內容有“六藝”（禮、樂、射、御、書、數），數學是其中之一。學者和官員們，歷來重視、崇尚這門學問。為了套用，人們要認識世界的規律，因而產生了數學。數學具有廣泛的套用性。從大的方面說，數學可以認識自然，理解人生；從小的方面說，數學可以經營事務，分類萬物。難道容許將數學視為一門淺近的學問嗎?
過去，歷算家們用籌算推演，制定天文曆法；發現自然規律，預測季節變化。用“髀”、“矩”測山高河深，用“圭表”量日影，以定時刻與節氣。宇宙如此之大，尚且不能置於數學之外，那么，宇宙之中的各種各樣的事物，難道能離開數學嗎？
自從“河圖”、“洛書”，開創發現數學的奧秘；《周易》“八卦”、《九章算術》，在解決錯綜複雜問題時，顯示了數學的精妙細微；“大衍術”在曆法計算，以及解諸多問題中的套用，使數學的精微作用發揮到了極大。數學對於認識人世間各類事物的變化，無所不包。自然界中物質運動的聚散，也不能隱匿於數學之外。古代的聖賢學者很高明，了解許多數學的精微之處，留下的文學卻十分簡略，使一般人難於明白，難於領悟其中之奧秘。探究其原因，是因為“數學”與“哲學”同樣深奧，本質一致，並不是兩回事。
後世的一些學者，把自己看得太高，鄙視前人的成就，不虛心學習，不繼承發展，使數學這門學問中，有的內容幾乎斷絕失傳。只有懂曆法的歷算家們，會乘除運算，但對高深的“開方術”、“大衍術”，就不通曉了。他們認為，官府的會計事務，只需少數人懂得加減計算就行了。數學家的地位和作用，而今，從不被人們所認識，當權人士對此狀況，也聽之任之。算學家只當作工具使用，數學這門學問遭到鄙視，也就理所當然了。
可悲啊！這就猶如製造樂器的人，僅僅只能撥弄出樂器的聲音，就說這是與天下的知音者一道，奏出了美妙悅耳的樂章，難道能夠這樣說嗎?
當今數學之書，計有三十餘家。天象曆法的計算方法，稱之為“綴術”（“逼近之術”）；套用於占卜術中的計算有“太乙、六壬、遁甲”，稱之為“三式”，這些都統稱為“內算”，它們的算法是保密的，內傳而不外傳。《九章算術》所載的內容，就是《周禮》中的“九數”（《九章算術》的九章是：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股）；有關測量方位、地形之高、深、遠、近的方法，稱為“直術”，這些都統稱為“外算”，它們的算法是公開的。“外算”是相對於“內算”而言的。“外算”與“內算”在套用上是彼此相通的，不應該視為兩種截然不同的算法。
唯獨“大衍術”，沒有載於《九章算術》之中。沒有見到有人，能將“大衍術”的算法程式推演出來。歷算家在制定曆法時，套用“大衍術”進行計算的頗多，如果以為它是“方程術”，那就謬誤了。
宇宙人世間的事情太多了，古代的人為解決某一問題，先進行策劃，再確定方法程式，然後按程式實施行動。他們仰觀天文，俯察地理，套用感官，套用直覺，謹慎地採用各種方法。為了讓他們取得的成果不致被埋沒，便使用文字將這些成果記載下來，一代一代流傳後世。
後人在做事時，往往從頭開始，很少考慮前人已有的成果，漸漸地在解決自然和人事的諸多問題時，就混亂不堪，缺少根據。我們為什麼不可以對前人的成果，多多研究一番呢?
但我堅信，世間萬物都與數學相關。於是，我很有興趣地鑽在數學之中，向學者、能人求教，深入探索數學之精微，初步取得一些成果。對於數學的大的方面，認識自然，理解人生，我並沒有什麼發現；但在數學的小的方面，對於經營事務，分類萬物，卻有所得，我嘗試以問答形式，擬出若干套用問題。歷經多年，積累漸增，我怕一旦丟失甚為可惜，於是就取八十一個問題，分為九類，寫出解題方法及運算程式，有的問題還在其中作圖以示之。
我的這些成果，或許可供博學多識的學人閒暇之時品賞，這便達到了本書的目的，我也心滿意足了。我原本要把數學提升到哲理（道）的高度，實在難以做到。如果有人說：這些數學成果，僅僅不過是歷算學家們流傳下來的東西，不能滿足社會廣泛的實際需要。我相信，這也不會使本書黯然失色。
詩九首 譯
南宋淳佑七年（公元1247年）九月魯群秦九韶序且附詩九首：
一
巍巍崑崙，氣勢磅礴，
世界本原，在於數學。
聖人發現推算曆法的大衍術，
大衍微妙之處源於《周易》。取奇數的竹棍進行運演，
一分為二，捨去模的倍數。
用“大衍術”，解出未知數，
要深入探索奧秘，方知原由。數學這門學問的發生髮展，
要依靠實際套用作出判斷。
我這裡著有《數書九章》，
首先就記載大衍術之原理。歷算家雖然知道如何計算，
卻不知這些算法之所以然。
我嘗試作出解釋，讓人明白，
姑且看一看由特殊推廣到一般。此章稱為“大衍”，列為第一。
二
七大行星，蒼穹迴旋，
世間諸事，變化多端。
用“綴術”逼近天體運動，
白天日影測，夜裡星象觀。曆法用久了，誤差就增大，
歷算家就得改革舊曆。
如果不實際去觀測天體，
沿襲舊的模式絕對無益。平原山川的農民耕種收穫，
全靠大自然的風調雨順。
陽光雨露，莊稼滋生，
雨水淋淋，雪水潤潤。農業官員憂心著氣象天文，
下了多少雨?用器皿測量。
積滿了水再換上一個器皿，
有時測之憂，有時測之喜。此章稱為“天時”，列為第二。
三
百姓雖小，當放首位，
審時度勢，以觀世界。
蒼老的婦女生活有保障，
這就是施行仁政之所在。歷史一朝朝，人口一代代，
開墾的土地，一天天增多。
需要量度田畝，整治賦稅，
重要的是精確進行測量統計。田地形狀，方圓各異，
有斜、有正、有高、有低。
測量技術，內容精深，
潛心研究，方能辨明。測量之時，差之毫厘，
最後結果，謬之千里。
於公於私，皆是大弊，
徵收賦稅理當仔細又仔細。此章稱為“田域”，列為第三。
四
山之不高，莫稱高山，
水之不深，莫稱大川。
大禹治水時，測定山川，
使用的矩尺才得以後傳。智慧的創造，巧妙的論述，
用“重差術”進行測算。
求解之法，詳盡而又周全，
測量的對象總是變化多端。又高、又深、又廣、又遠，
進行測量決不是容易簡單。
有時是形勢險要，進之不去，
有時是敵方營壘，不能著邊。要求出未知數，怎么辦?
先後兩次用“表”測量。
用兩次測量之差進行計算，
遠離其境也可知高深廣遠。此章稱為“測望”，列為第四。
五
國家規定，徵收賦稅，
民間百事，正待興辦。
要依據田畝人口的多少，
取之有度必須進行測算。徭役雖然可以不免，
但應事先商量和計算。
套用比例分配要恰當，
賦稅徭役要均勻承擔。漢代距古代並不太遠，
他們按田畝比例收稅。
協調均衡收的谷與錢，
用以抵禦災害，防洪抗旱。當官的要施仁政，為民著想，
設身處地，猶如自己挨餓受災。
如果賦稅徭役分配不均，
六
納糧上稅，要看等級，
糧食入庫，要看時節。
一粒粒粟，一寸寸絲，
都是男男女女的勞動所得。官府要向人民征糧收稅，
後世的腐敗之風頻頻發生。
達官貴人相互攀緣，欺榨百姓，
這些大小貪官污吏，用盡心機。我曾聽說治理財政，
理當猶如智者治水。
正本清源，有條不亂，
治標治本，消除隱患。那些愚蠢貪官視而不見，
人民悲慘，還用刑不斷。
這是離開理智愈來愈遠，
為官不仁啊！可嘆可嘆！此章稱為“錢穀”，列為第六。
七
如此房屋，如此城牆，
國家棟樑，社會保障。
百姓居住的地方，
財富聚散的市場。城市建築作用巨大，
一定要制定好規劃。
如果策劃與營造，不合章法，
就會勞民傷財，浪費很大。楚昭王圍困蔡國時堅木築牆，
這是採納了子西的建議。
漢代工匠設計天文觀象台，
漢文帝也擔憂造價太昂貴。唯有武力才能爭奪戰功，
唯有節儉才能生財積德。
國家太平，家庭才有安全，
而今我們從哪裡取得規範?此章稱為“營建”，列為第七章。
八
自然界有金木水土火，
金屬兵器，非有不可。
士兵不訓練就去打仗，
這是上級的嚴重過錯。威威陣容，嚴嚴步履，
應以鵝鸛行列為楷模。
軍營布陣，當有規矩，
這是將軍們的職責。軍隊打仗要取得勝利，
依靠官兵的智、仁、勇。
夜讀兵書，重在領悟，
首先就要講究謀略。我聽說在過去的戰例中，
