楊輝三角(賈憲三角)

楊輝三角

賈憲三角一般指本詞條

楊輝三角,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列,中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲,帕斯卡(1623----1662)在1654年發現這一規律,所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年,比賈憲遲600年。

楊輝三角是中國數學史上的一個偉大成就。

基本介紹

  • 中文名:楊輝三角
  • 外文名:Pascal's Triangle
  • 別稱:賈憲三角形、帕斯卡三角形
  • 表達式:幾何
  • 提出者:楊輝
  • 提出時間:約1050年
  • 套用學科:數學,計算機
  • 適用領域範圍:數學,計算機
  • 使用人群:中學生、大學生,編程專家、等等
  • 發現者:楊輝
簡介,概述,套用,數在楊輝三角中的出現次數,歷史沿革,在編程中實現,C++,Bash,C#,C,Visual Basic,SQL,易語言,Java,PHP,Python,

簡介

楊輝三角,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形帕斯卡(1623----1662)是在1654年發現這一規律的,比楊輝要遲393年,比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一,它把二項式係數圖形化,把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來,是一種離散型的數與形的結合。
楊輝三角

概述

前提:每行端點與結尾的數為1.
(與上圖中的n不同,這裡第一行定義為n=1)
  1. 每個數等於它上方兩數之和。
  2. 每行數字左右對稱,由1開始逐漸變大。
  3. 第n行的數字有n項。
  4. 第n行的m個數可表示為 C(n-1,m-1),即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。
  5. 第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ,為組合數性質之一。
  6. 每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和,這也是組合數的性質之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)
  7. (a+b)n的展開式中的各項係數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
  8. 將第2n+1行第1個數,跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線,這些數的和是第4n+1個斐波那契數;將第2n行第2個數(n>1),跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。
  9. 將第n行的數字分別乘以10^(m-1),其中m為該數所在的列,再將各項相加的和為11^(n-1)。11^0=1,11^1=1x10^0+1×10^1=11,11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121,11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331,11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641,11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。
  10. 第n行數字的和為2^(n-1)。1=2^(1-0),1+1=2^(2-1),1+2+1=2^(3-1),1+3+3+1=2^(4-1),1+4+6+4+1=2^(5-1),1+5+10+10+5+1=2^(6-1)。
  11. 任一對角線上數字的和等於其向左或右拐彎,拐角上的數字。1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=4,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+3=4,1+3+6=10,1+4=5。
  12. 將各行數字左對齊,其右上到左下對角線數字的和等於斐波那契數列的數字。1,1,1+1=2,2+1=3,1+3+1=5,3+4+1=8,1+6+5+1=13,4+10+6+1=21,1+10+15+7+1=34,5+20+21+8+1=55。

套用

性質5和性質7是楊輝三角的基本性質,是研究楊輝三角其他規律的基礎。
與楊輝三角聯繫最緊密的是二項式乘方展開式的係數規律,即二項式定理。例如在楊輝三角中,第3行的三個數恰好對應著兩數和的平方的展開式的每一項的係數(性質 8),第4行的四個數恰好依次對應兩數和的立方的展開式的每一項的係數,即
,以此類推。
又因為性質5:第n行的m個數可表示為C(n-1,m-1),即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。因此可得出二項式定理的公式為:
因此,二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇,它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式係數的問題,實際上是一種組合數的計算問題。用係數通項公式來計算,稱為“式算”;用楊輝三角形來計算,稱作“圖算”。

數在楊輝三角中的出現次數

由1開始,正整數在楊輝三角形出現的次數為∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527)
除了1之外,所有正整數都出現有限次,只有2出現剛好一次,6,20,70等出現三次;出現兩次和四次的數很多,還未能找到出現剛好五次的數。120,210,1540等出現剛好六次。(OEIS:A098565)
因為丟番圖方程
有無窮個解,所以出現至少六次的數有無窮個多。解為
,其中Fn表示第n個斐波那契數(F1=F2=1)。
3003是第一個出現八次的數。

歷史沿革

北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算。
楊輝,字謙光,南宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了如上所示的三角形數表,稱之為“開方作法本源”圖,並說明此表引自11世紀中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術》,並繪畫了“古法七乘方圖”。故此,楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。
元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》(1303年)擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。
義大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(Triangolo di Tartaglia)以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞
在歐洲直到1623年以後,法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介紹了這個三角形。帕斯卡蒐集了幾個關於它的結果,並以此解決一些機率論上的問題,影響面廣泛,Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形。
21世紀以來國外也逐漸承認這項成果屬於中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)
歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家有:
  • 賈憲 中國北宋 11世紀 《釋鎖算術》
  • 楊輝 中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功
  • 朱世傑 中國元代 1299《四元玉鑒級數求和公式
  • 阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》
  • 阿皮亞納斯 德國 1527
  • 米歇爾.斯蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
  • 薛貝爾 法國 1545
  • B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》
其實,中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章,而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。

在編程中實現

楊輝三角在編程實現中較為容易。最常見的算法便是用上一行遞推計算;也有運用和組合的對應關係而使用階乘計算的,然而後者速度較慢且階乘容易溢出。編程的輸出大多相類,此處並不過多添加截圖。
C、C++、C#、Java 語言之間的語法也大多相類,因此這裡也不會將每一種算法都在這些語言中各實現一遍。要在這些語言的版本間修改,實際上只需注意一些簡單的語法和函式名稱的改變,如 C 的 int yh[M][M] 應改寫為 Java 的 int[][] yh = new int[M][M]、C# 的 int[,] yh=new int[M,M];C printf 應使用 Java 的 System.out.print、C# 的 Console.Write 、C++ 中更智慧型的 cout 來替換。

C++

#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;int main(){    const int n = 15;    const int m = 2 * n-1;    int arr[n + 1][m] = { 0 };    for (int i = 0; i < n; i++)    {        arr[i][n - i- 1] = 1;        arr[i][n + i -1] = 1;    }    for (int i = 2; i < n; i++)    {        for (int j = n - i + 1; j < n-2+i; j = j + 2)            arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j + 1];    }    int p;    for (int i = 0; i < n; i++)    {        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++)            cout << "    ";        p = 1;        for (int j = n - i - 1; p < i + 2; j = j + 2)        {            cout << setw(4) << arr[i][j] << "    ";            p = p + 1;        }        cout << endl;    }    return 0;}

Bash

#! /bin/bash# 用法:./pasTrig [個數],若不指明個數為 5。# 填充指定個數的空格pad(){ for ((k=0;k<$1;k++)); do echo -n ' '; done; }# 層數和新舊層lyrs=${1-5}prev[0]=1curr[0]=1 # 接下來每行第一個始終為一,無需重複賦值# 執行pad $(((lyrs-1)*2))echo 1for ((i=2; i<=lyrs; i++)); do # 略過 1,已處理  pad $(((lyrs-i)*2)) # 填充空格,注意這裡不會怎么顧及三位以上的數,即第 14 層開始會混亂  curr[i]=1  printf '%-4d' ${curr[0]}  for ((j=1; j<i-1; j++)); do # 首尾極值已處理,略過    ((curr[j]=prev[j-1]+prev[j]))    printf '%-4d' ${curr[j]}  done  printf '%-4d\n' ${curr[i]} # 最後一個和換行  # 搬家    prev=(${curr[*]})    done
Bash 輸出楊輝三角並使用 nl 表明行號Bash 輸出楊輝三角並使用 nl 表明行號

C#

class Program{  public int yanghui(int value)  {  if(value<3) return 1;  int[,]arry=new int[value,value];  Console.WriteLine("數組為:");  for(int i=0;i<value;i++)  {    string str="";    str=str.PadLeft(value-i);    Console.Write(str);    for(int j=0;j<=i;j++)    {      if(i==j||j==0)        arry[i,j]=1;      else        arry[i,j]=arry[i-1,j-1]+arry[i-1,j];      Console.Write(arry[i,j]+"");    }    Console.WriteLine();  }} static void Main(string[]args){  Program p=new Program();  Console.WriteLine("請輸入數組值:");  if (p.yanghui(Convert.ToInt16(Console.ReadLine())))    Console.WriteLine("輸入數值必須大於3");  Console.Readkey();} }

C

以下的代碼均用標準 C 語言寫成,可以被包括 MSVC(含 VC6)、GCC 的多種 C 編譯器編譯。
這個算法使用只行列位置和左側的數值算出數值:
/* yh-rt1.c - 時間和空間最優算法 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(){    int s = 1, h;                    // 數值和高度    int i, j;                        // 循環計數    scanf("%d", &h);                 // 輸入層數    printf("1\n");                   // 輸出第一個 1    for (i = 2; i <= h; s = 1, i++)         // 行數 i 從 2 到層高    {        printf("1 ");                // 第一個 1        for (j = 1; j <= i - 2; j++) // 列位置 j 繞過第一個直接開始循環            //printf("%d ", (s = (i - j) / j * s));            printf("%d ", (s = (i - j) * s / j));        printf("1\n");               // 最後一個 1,換行    }    getchar();                       // 暫停等待    return 0;}
默認求直角三角形,可通過注釋的開關或使用編譯器的 -D 定義開關調節等腰三角形和菱形輸出。如果覺得複雜,可按照 define 使用的情況剔除因不符合 ifdef 條件從而未啟用的代碼之後閱讀。
默認狀態下不啟用金字塔和菱形的輸出默認狀態下不啟用金字塔和菱形的輸出
這個算法創建了一個二維數組,並且通過上一行的數值求當前行。在反過來再次列印時,這個程式會使用以前算好的值,從而節省了重複疊代的時間。
/* yh-2d.c - 二維數組疊代 */#include<stdio.h>#define M 10       // 行數// #define PYRAMID // 金字塔,會額外填充空格// #define REVERSE // 反向再來一次,得到菱形int main(void){  int a [M][M], i, j;   // 二維數組和循環變數,a[行][列]  for (i = 0; i<M; i++) // 每一行  {#ifdef PYRAMID    for (j = 0;j <= M-i; j++) printf ("  ");#endif // 填充結束    for (j = 0; j <= i; j++) // 賦值列印      printf("%4d", (a[i][j] = (i == j || j == 0) ? 1 : // 首尾置 1        a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1] )); // 使用上一行計算    printf("\n");  }#ifdef REVERSE  for(i = M-2; i >= 0; i--)  {#ifdef PYRAMID    for (j = 0;j <= M - i; j++) printf("  ");#endif // 填充結束    for (j = 0;j <= i; j++) printf("%4d",a[i][j]); // 直接使用以前求得的值    printf("\n");  }#endif // 菱形結束  getchar(); // 暫停等待}
這一個使用大數組寫成,風格更接近教科書上的 VC6 代碼。
/* yh-rt3.c - 較為暴力的大數組 */#include <stdio.h>#include "string.h"int main(){    int a[10000];        //容器,由n*(n+1)/2<=10000可知,n<=141    int b,CR,i;        //b為當前行數,CR為要求顯示的行數,i為循環數    printf("請輸入要顯示的行數(3~141):");    scanf("%d",&CR);    YHSJ(CR);    a[1]=a[2]=1;        //前兩行數值少且全為1,故直接輸出    printf("%d\n",a[1]);    printf("%d %d\n",a[1],a[2]);    for(b=3;b<=CR;b++)        //從第三行開始判斷    {        for(i=b;i>=2;i--)        //從倒數第一個數開始加          a[i]=a[i]+a[i-1];        //楊輝三角的規律,沒有值的數組默認為0        for(i=1;i<=b;i++)        //顯示循環          printf("%d ",a[i]);        printf("\n");        // 換行    }    return 0;}
這個版本使用佇列的方式輸出。
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define EMPTY 1#define OFLOW 2#define INVAL 3#define MAX_Q 100typedef int DataType; // 數據類型選擇typedef struct{ DataType elem[MAX_Q]; int front, rear; } LinkQ;// 佇列及檢查宏#define InitQ(Q) LinkQ Q; Q.front=Q.rear=-1;#define _EQ(Q,e) Q.elem[(Q.rear=(Q.rear+1)%MAX_Q)]=e#define EnQ(Q,e) if((Q.rear+1)%MAX_Q==Q.front) Exit(OFLOW,"Overflow"); _EQ(Q,e)#define DeQ(Q,e) e=Q.elem[(Q.front=(Q.front+1)%MAX_Q)]#define Front(Q) Q.elem[(Q.front+1)%MAX_Q]// 退出int Exit(int err, char msg[]) { puts(msg); exit(err); return err; }int main(void){    int n=1,i,j,k,t;    InitQ(Q);    printf("please enter a number:");    scanf("%d",&n);    if (n<=0) {        printf("ERROR!\n");        exit(INVAL);    }    for(i=0;i<n;i++) printf(" ");    puts("1"); EnQ(Q,1); EnQ(Q,1);    for(i=1;i<n;i++) {        for(k=0;k<n-i;k++) printf(" ");        EnQ(Q,1);        for(j=0;j<i;j++){            DeQ(Q,t);            printf("%3d ",t);            EnQ(Q,t+Front(Q));        }        EnQ(Q,1);        DeQ(Q,t);        printf("%d\n",t);    }    return 0;}

Visual Basic

Private Sub Form_Click()    N = InputBox("", "", 5)    ReDim a(N + 1, N + 1), b(N + 1, N + 1)    Cls    k = 8    For I = 1 To N    Print String((N - I) * k / 2 + 1, " ");    For J = 1 To I    a(I, 1) = 1    a(I, I) = 1    a(I + 1, J + 1) = a(I, J) + a(I, J + 1)    b(I, J) = Trim(Str(a(I, J)))    Print b(I, J); String(k - Len(b(I, J)), " ");    Next J    Print    Next IEnd Sub
單擊視窗在彈出輸入框後輸入行數後按確認 就能在窗體上列印楊輝三角了

SQL

-- 使用組合的計算公式和階乘計算楊輝三角,對大數容易溢出。create function Factorial (@count int) returns int as begin  declare @ret int,@index int  set @ret = 1 --初始值為 1  set @index = 1  while(@index <= @count) begin    set @ret = @ret * @index    set @index = @index + 1  end  return (@ret)endcreate function Combination (@num int,@count int) returns int as begin  declare @up int,@L1 int,@R1 int,@ret int  set @up = dbo.Factorial(@count)  set @L1 = dbo.Factorial(@num)  set @R1 = dbo.Factorial(@count - @num)  set @ret = @up/(@L1 * @R1)  return (@ret)endcreate function PrintRow (@num int) returns nvarchar(100) as begin  declare @i int  declare @str nvarchar(100)  set @str = ''  set @i = 1  while (@i < @num) begin    set @str = @str + replace(str(dbo.Combination(@i,@num)),' ','') + ' ,'    set @i = @i + 1  end  return (@str)endcreate proc PasTrigLines(@num int) as begin -- 主程式  declare @i int  set @i = 1  while(@i <= @num ) begin    if (@i = 0 ) print 1 + ','    else if (@i = 1) print '1,1,'    else print '1,' + dbo.PrintRow(@i) + '1,'    set @i = @i + 1  endendexec PasTrigLines 10 -- 十個

易語言

來自易語言自帶的例子。
以下為全文。
.版本 2.程式集 啟動視窗程式集 .程式集變數 帕斯卡三角階數, 整數型, , , 帕斯卡三角行數 .程式集變數 帕斯卡三角, 文本型, , , 形成的帕斯卡三角.子程式 __啟動視窗_創建完畢' 使用算法:遞歸調用 ' 問題:求帕斯卡(楊輝)三角 ' 問題描述:取N階的帕斯卡(楊輝)三角並顯示 ' 問題分析: '  運用遞歸的方法取N層帕斯卡三角,並顯示。三角形邊界上的數都是1,內部的每個數是位於它上面的兩個數之和。 '  假設f(row, col)表示楊輝三角的第row行的第col個元素,那么:f(row, col) = 1 (col = 1 或者 row = col),也就是遞歸的停止條件。f(row, col) = f(row - 1, col - 1) + f(row - 1, col),也就是上一行的兩個相鄰元素的和。遞歸調用求解。 ' 備註:.子程式 _計算圖形按鈕_被單擊 .局部變數 行數, 整數型, , , 帕斯卡三角行數 .局部變數 列數, 整數型, , , 帕斯卡三角列數 .局部變數 詢問返回, 整數型, , , 信息框返回的結果編輯框2.內容 = “” 帕斯卡三角 = “” ' 判斷輸入的值 .判斷開始 (編輯框1.內容 = “”) 信息框 (“輸入錯誤!”, 0, ) ' 當數值過大時,給出提示 .判斷 (到數值 (編輯框1.內容) > 20) 詢問返回 = 信息框 (“您輸入的數值過大,處理數據時程式將會有一段時間無回響,是否繼續?”, #是否鈕 + #詢問圖示, “請問:”) .如果真 (詢問返回 = #是鈕) ' 如果確定,調用求帕斯卡三角 求帕斯卡三角 () .如果真結束 ' 數據較小時調用求帕斯卡三角 .判斷 (編輯框1.內容 ≠ “” 且 到數值 (編輯框1.內容) ≤ 20) 求帕斯卡三角 () .默認.判斷結束 .子程式 求帕斯卡三角 .局部變數 行數, 整數型, , , 帕斯卡三角行數 .局部變數 列數, 整數型, , , 帕斯卡三角列數' 要求的帕斯卡三角的總行數 帕斯卡三角階數 = 到數值 (編輯框1.內容) - 1 .變數循環首 (0, 帕斯卡三角階數, 1, 行數) .變數循環首 (0, 行數, 1, 列數) ' 取帕斯卡三角元素放到當前行里 帕斯卡三角 = 帕斯卡三角 + 到文本 (取帕斯卡三角元素 (行數 + 1, 列數 + 1)) + “,” .變數循環尾 () 帕斯卡三角 = 取文本左邊 (帕斯卡三角, 取文本長度 (帕斯卡三角) - 1) + #換行符 ' 沒層需去尾都好加換行符 .變數循環尾 () ' 顯示結果 編輯框2.內容 = 帕斯卡三角 .子程式 取帕斯卡三角元素, 整數型, , 取帕斯卡三角中元素的子程式 .參數 行數, 整數型, , 帕斯卡三角行數 .參數 列數, 整數型, , 帕斯卡三角列數.如果 (列數 = 1 或 行數 = 列數) ' 每行的外圍兩個元素為1 返回 (1) .否則 ' 其餘的部分為上一行的(行數 - 1)和(行數)元素之和 返回 (取帕斯卡三角元素 (行數 - 1, 列數 - 1) + 取帕斯卡三角元素 (行數 - 1, 列數)) .如果結束

Java

public class TriangleArray{   public static void main(String[] args)   {      final int NMAX = 10;       // allocate triangular array      int[][] odds = new int[NMAX + 1][];      for (int n = 0; n <= NMAX; n++)         odds[n] = new int[n + 1];        // fill triangular array      for (int n = 0; n < odds.length; n++)         for (int k = 0; k < odds[n].length; k++)         {            /*             * compute binomial coefficient n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)/(1*2*3*...*k)             */            int lotteryOdds = 1;            for (int i = 1; i <= k; i++)               lotteryOdds = lotteryOdds * (n - i + 1) / i;            odds[n][k] = lotteryOdds;         }      // print triangular array      for (int[] row : odds)      {         for (int odd : row)            System.out.printf("%4d", odd);         System.out.println();      }   }}

PHP

<?php/* 默認輸出十行,用T(值)的形式可改變輸出行數 */class T{  private $num;  public function __construct($var=10) {    if ($var<3) die("值太小啦!");    $this->num=$var;  }  public function display(){    $n=$this->num;    $arr=array();  //$arr=array_fill(0,$n+1,array_fill(0,$n+1,0));    $arr[1]=array_fill(0,3,0);    $arr[1][1]=1;    echo str_pad("&nbsp;",$n*12,"&nbsp;");    printf("%3d",$arr[1][1]);    echo "<br/>";    for($i=2;$i<=$n;$i++){      $arr[$i]=array_fill(0,($i+2),0);      for($j=1;$j<=$i;$j++){        if($j==1)          echo str_pad("&nbsp;",($n+1-$i)*12,"&nbsp;");        printf("%3d",$arr[$i][$j]=$arr[$i-1][$j-1]+$arr[$i-1][$j]);        echo "&nbsp;&nbsp;";      }      echo"<br/>";    }  }}$yh=new T(); //$yh=new T(數量);$yh->display();?>
只輸出數組的方式如下:
<?php$max = 10;$L = [1];var_dump($L);$L = [1,1];var_dump($L);$n = 2;while ($n <= $max - 1){    $oldL = $L;    $L[$n] = 1;    $n++;    for ($i = 1;$i <count($oldL);$i++){        $L[$i] = $oldL[$i-1] + $oldL[$i];    }    var_dump($L);}?>

Python

較為便捷,代碼量較少的實現方式如下:
# -*- coding: utf-8 -*-#!/usr/bin/env pythondef triangles():    L = [1]    while True:        yield L        L = [sum(i) for i in zip([0]+L, L+[0])]
該方式用到了列表生成式,理解起來較困難,下面是另一種方式:
def triangles():    ret = [1]    while True:        yield ret        for i in range(1, len(ret)):            ret[i] = pre[i] + pre[i - 1]        ret.append(1)        pre = ret[:]
另一個不用生成器的版本:
def YangHui (num = 10):    LL = [[1]]    for i in range(1,num):        LL.append([(0 if j== 0 else LL[i-1][j-1])+ (0 if j ==len(LL[i-1]) else LL[i-1][j]) for j in range(i+1)])    return LL

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