閉區間

閉區間

閉區間是數學用語,與開區間相對。

閉區間是直線上的連通閉集,是直線上介於固定兩點間的所有點的集合(包括給定的兩點),用[a,b]來表示(包含兩個端點a和b)(且a<b)。由於它是有界閉集,所以它是緊緻的。

基本介紹

  • 中文名:閉區間
  • 外文名:closed interval
  • 相對區間:開區間
  • 含義直線上介於固定兩點間所有點集合
  • 相關理論閉區間套定理
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定義

閉區間是數學用語,與開區間相對。
直線上介於固定的兩點間的所有點的集合(包含給定的兩點)。 閉區間是直線上的連通閉集。由於它是有界閉集,所以它是緊緻的。
閉區間的函式為小於等於的關係,即-∞≤a≤+∞,在數軸上為實心點。閉區間的余集(就是補集)是兩個開區間並集實數理論中有著名的閉區間套定理
代表符號:[x,y] ,即從x值開始到y值,包含x、y。比如:x的取值範圍是3到5的閉區間,那么用數學語言表示即為 [3,5] ,也就是從3(含)到5(含)之間的數。

區間

(intetval)
區間是數軸上一種最常用的點集。區間有三類:
1、閉區間
,其中 a,b 是實數(下同);
2、開區間
3、半開區間
半開區間又稱半閉區間。上面的 a,b 分別稱為相應的區間的左、右端點,區間中其他點稱為該區間的內點。
上述各種區間中,
又稱有界區間或有限區間,其他點稱為無界區間或無限區間。對於
,區間
又稱為對稱區間,區間是數軸上點線段或射線或整個數軸,“開”(“閉”,“半開”)是指不包含(包含,只包含一個)其端點,在擴張的實數系 R* 中,四種開區間可以用一個記號
表示,其中
。類似地,半開區間可以用
表示。
b-a 稱為區間的長度。無界區間的長度是
。R* 本身也可寫作
。除了單點集外,區間是 R 中僅有的連通集,文獻中常有以 "]" 和 "[" 分別代替 “(” 和 “)",而把
寫作
的寫法,類似地也有
等寫法。

閉區間套定理

閉區間套

設有無窮多個閉區間
,滿足以下兩個條件:
(1)[an+1,bn+1]⊆[an,bn](即後一個閉區間都在前一個閉區間之內);
(2)
(即隨著n的增大,閉區間的長度越來越短),
那么將這一無窮多個閉區間所構成的集合
稱為一個閉區間套,簡稱區間套。

定理

是一個閉區間套,則存在唯一實數
,並且

推論

若ξ是閉區間套{[an,bn]}的公共點,則對任意ε>0,總存在自然數N,當n>N時,有[an,bn]⊂U(ξ,ε)。
即,如果ξ是閉區間套{[an,bn]}的公共點,那么在ξ的ε鄰域內,總有區間套{[an,bn]}的無數個區間。

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