行列式

行列式在數學中，是一個函式，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的套用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。

基本介紹

• 中文名：行列式
• 外文名：determinant(英文)déterminant（法文）
• 表達式：D=|A|=detA=det(aij)
• 套用學科：線性代數
• 適用領域範圍：數學、物理學
• 分類：二階行列式，三階行列式

數學定義

n階行列式

設

是由排成n階方陣形式的n²個數aij(i,j=1,2,...,n)確定的一個數，其值為n！項之和

式中k1,k2,...,kn是將序列1,2,...,n的元素次序交換k次所得到的一個序列，Σ號表示對k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那么數D稱為n階方陣相應的行列式.例如，四階行列式是4！個形為

的項的和，而其中a13a21a34a42相應於k=3,即該項前端的符號應為

(－1)3.
若n階方陣A=（aij）,則A相應的行列式D記作
D=|A|=detA=det(aij)
若矩陣A相應的行列式D=0，稱A為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣.
標號集：序列1,2,...,n中任取k個元素i1,i2,...,ik滿足
1≤i1<i2<...<ik≤n(1)
i1,i2,...,ik構成{1,2,...,n}的一個具有k個元素的子列，{1,2,...,n}的具有k個元素的滿足(1)的子列的全體記作C(n,k),顯然C(n,k)共有個子列.因此C(n,k)是一個具有個元素的標號集（參見第二十一章，1，二），C(n,k)的元素記作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

σ={i1,i2,...,ik}
是{1,2,...,n}的滿足(1)的一個子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),則σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。

性質

①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

②行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。