克羅內克函式

在數學中，克羅內克函式（又稱克羅內克δ函式、克羅內克δ）是一個內鏈二元函式，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函式的自變數（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

基本介紹

• 中文名：克羅內克函式
• 外文名：Kronecker delta
• 領域：數學

簡介

在數學中，克羅內克函式（又稱克羅內克δ函式、克羅內克δ） 是一個二元函式，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函式的自變數（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

克羅內克函式的值一般簡寫為 。

克羅內克函式和狄拉克δ函式都使用δ作為符號，但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標，而狄拉克δ函式則只有一個變數。

其它記法

另一種標記方法是使用艾佛森括弧（得名於肯尼斯·艾佛森）：

同時，當一個變數為0時，常常會被略去，記號變為 ：

在線性代數中，克羅內克函式可以被看做一個張量，寫作 。

數位訊號處理

類似的，在數位訊號處理中，與克羅內克函式等價的概念是變數為 (整數)的函式：

這個函式代表著一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時，輸出的函式被稱為此單元的衝激回響。

性質

克羅內克函式有篩選性：對任意 ：

如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間，那么這個性質和狄拉克δ函式的定義是一樣的：

實際上，狄拉克δ函式是根據克羅內克函式而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定 為連續的情況（狄拉克函式） ，而使用i,j,k,l,m, andn等變數一般是在 離散的情況下（克羅內克函式）。

線性代數中的套用

在線性代數中，單位矩陣可以寫作 。

在看做是張量時（克羅內克張量），可以寫作 。

這個(1,1)向量表示：作為線性映射的單位矩陣；跡數；內積 ；映射 ，將數量乘積表示為外積的形式。

廣義克羅內克函式

定義廣義克羅內克函式為 矩陣的行列式，以方程式表達為

其中， 是個張量函式，定義為 。

以下列出涉及廣義克羅內克函式的一些恆等式：

其中，和是列維-奇維塔符號。

其中，是階張量。

積分表示

對任意的整數，運用標準的留數計算，可以將克羅內克函式表示成積分的形式：

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。

這個表示方式與下面的另一形式等價：

參見

• 列維-奇維塔符號
• 狄拉克測度
• 同或門