狄拉克符號

量子力學是研究微觀粒子運動規律的理論，是現代物理學的理論基礎之一。量子力學是在上世紀20年代中期建立起來的。

狄拉克符號（也叫“bra-ket 符號”）與希爾伯特空間一起，構成了量子力學形式體系，是非常重要的基本概念。

基本介紹

• 中文名：狄拉克符號
• 外文名：Dirac notation
• 別稱：bra-ket 符號
• 領域：量子力學
• 提出者：狄拉克
• 相關詞：希爾伯特空間

基本介紹

狄拉克（Dirac）符號（也叫“bra-ket 符號”）於1939年被狄拉克提出，他將“括弧（bracket）”這個單詞一分為二，分別代表這個符號的左右兩部分，左邊是“bra”，即為左矢；右邊是“ket”，即為右矢。

把希爾伯特空間一分為二，互為對偶的空間，就是狄拉克符號的優點。用右矢|α>表示態矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是內積，<α|α>大於等於0，稱為模方。|β><α|是外積。

注意的是：幾種表示的意義：|α> 右矢，<α| 左矢，A表示算符，A|α>表示一個右矢，<α|A表示一個左矢，而且，A總是從左方作用於右矢，從右方作用於左矢的。 <α|A|β>是一個複數，可以看成（<α|A）|β>即一個左矢與一個右矢的內積；或者<α|（A|β>），即一個右矢與一個左矢的內積。

狄拉克符號在量子力學理論表述中 有兩個優點：1.可以毋需採用具體表象（即可以脫離某一具體的表象）來討論問題。2.運算簡捷，特別是對於表象變換。

矩陣表示

右矢與左矢可分別用N×1階和1×N階矩陣表示為：

不同的兩個態矢量的內積則由一個括弧來表示：<ψ|φ>，當狄拉克符號作用於兩個基矢時，所得值為： （δ_ij為克羅內克函式）

相同的態矢量內積為：

性質

因為每個右矢是一複數希爾伯特空間中的一個矢量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

（1）給定任何左矢<Φ|、右矢|Ψ₁>以及|Ψ₂>複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與標量乘法的定義有：

（2）給定任何右矢|Ψ>、左矢<Φ₁|以及<Φ₂|，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函：

（3）給定任何右矢|Ψ₁>以及|Ψ₂>，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），則有：

和

對偶。

（4）給定任何左矢<Φ|及右矢|Ψ>，內積的一個公理性質指出：

量子力學

量子力學是研究微觀粒子運動規律的理論，是現代物理學的理論基礎之一。量子力學是在本世紀20年代中期建立起來的。19世紀末，人們發現大量的物理實驗事實不能再用經典物理學中能量是完全連續性的理論來解釋。1900年，德國物理學家普朗克提出了能量子假說，用量子化即能量具有的不連續性，解釋了黑體輻射能量分布問題。1905年，愛因斯坦在此基礎上提出了光量子假說，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解釋了光電效應問題。1906年，愛因斯坦又用量子理論解決了低溫固體比熱問題。接著，丹麥物理學家玻爾提出了解釋原子光譜線的原子結構的量子論，並經德國物理學家索末菲等人所修正和推廣。1924年，德國物理學家德布羅意在愛因斯坦光量子假說啟示下，提出了物質波假說，指出一切實物粒子也同光一樣都具有波粒二象性。1925年，德國物理學家海森堡和玻恩、約爾丹以矩陣的數學形式描述微觀粒子的運動規律，建立了矩陣力學。接著，奧地利物理學家薛丁格以波動方程的形式描述微觀粒子的運動規律，建立了波動力學。不久，薛丁格證明，這兩種力學完全等效，這就是今天的量子力學。量子力學用波函式描寫微觀粒子的運動狀態，以薛丁格方程確定波函式的變化規律。套用量子力學的方法解決原子分子範圍內的問題時，得出了與實驗相符的結果;量子力學用於巨觀物體或質量、能量相當大的粒子時，也能得出與經典力學一樣的結論。因此，量子力學的建立大大促進了原子物理、固體物理和原子核物理學的發展，並推動了半導體、雷射和超導等新技術的套用。它標誌著人類認識已從巨觀領域深入到微觀領域。量子力學為哲學研究的發展開闢了新的領域，它向人們提出了一系列新的哲學課題，諸如微觀客體的存在特徵、微觀世界是否存在因果關係、主客體在原則上是否不可分、主客體之間的互補問題等等。深入和正確地回答這些問題，無疑將會推動馬克思主義哲學的深入發展。

希爾伯特空間

希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。對希爾伯特空間及作用在希爾伯特空間上的運算元的研究是泛函分析的重要組成部分。

設H是一個實的線性空間，如果對H中的任何兩個向量x和y，都對應著一個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：

①對H中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);

②對H中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);

③對H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是H上的一個內積，而H稱為內積空間。

如果定義‖x‖=，則在‖0‖下，H構成一個線性賦范空間。

完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。

歐幾里德空間是希爾伯特空間的一個重要特例，希爾伯特空間的另一個最重要的特例是L²(G)，設G是n維歐幾里德空間中的一個有界閉域， 定義在G上的滿足⨜G|f(x)|²dx<+∞的勒具格可測函式全體記為L²(G)，在L²(G)中引入內積(f，g)=⨜Gf (x)g(x)dx，則L²(G) 是一個希爾伯特空間，L²(G)是實用中最重要和最常用的希爾伯特空間。

希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。

在泛函分析中，詳細地研究了希爾伯特空間自共軛運算元的理論，特別是自共軛運算元的譜理論，這一理論在經典數學的不少領域中有廣泛的套用。需要特別指出的是，自共軛運算元的譜理論，為量子力學的發展，提供了適合的工具。

理論數學、套用數學和物理中的許多問題，在希爾伯特空間中，可得到較好的處理，因此，希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的套用。