傅立葉級數(傅立葉級數)

傅立葉級數

傅立葉級數一般指本詞條

法國數學家傅立葉發現,任何周期函式都可以用正弦函式餘弦函式構成的無窮級數來表示(選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的),後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數,根據歐拉公式,三角函式又能化成指數形式,也稱傅立葉級數為一種指數級數。

基本介紹

  • 中文名:傅立葉級數
  • 外文名:Fourier series
  • 提出者:傅立葉
  • 適用領域範圍:任何周期函式
  • 性質:一種特殊的三角級數
  • 套用學科:數學
來源,公式,性質,收斂性,正交性,奇偶性,廣義傅立葉級數,

來源

法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國,程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理,並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的套用。
傅立葉級數傅立葉級數

公式

給定一個周期為T的函式x(t),那 么它可以表示為無窮級數:(1)(j為虛數單位),
其中,
可以按下式計算: (2) ,注意到;是周期為T的函式,故k 取不同值時的周期信號具有諧波關係(即它們都具有一個共同周期T)。k=0時,(1)式中對應的這一項稱為直流分量,k=1時具有基波頻率,稱為一次諧波或基波,類似的有
二次諧波,三次諧波等等。
傅立葉級數傅立葉級數

性質

收斂性

傅立葉級數的收斂性:滿足狄利赫里條件周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫里條件如下:
在任何周期內,x(t)須絕對可積;在任一有限區間中,x(t)只能取有限個最大值或最小值;
傅立葉級數傅立葉級數
在任何有限區間上,x(t)只能有有限個第一類間斷點
吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t),那么x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函式族的正交性用公式表示出來就是:
傅立葉級數
傅立葉級數
傅立葉級數
傅立葉級數傅立葉級數

奇偶性

奇函式,可以表示為正弦級數,而偶函式,則可以表示成餘弦級數:
只要注意到歐拉公式:,這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中導出。
傅立葉級數傅立葉級數

廣義傅立葉級數

類似於幾何空間上矢量的正交分解,周期函式的傅立葉級數是在內積空間上函式的正交分解。其正交分解從
基推廣到Legendre(勒讓特,1775-1837)多項式和Haar(哈爾,1885-1993)小波基等,稱為廣義傅立葉級數。
任何正交函式系
,如果定義在[a,b]上的函式f(x)只具有有限個第一類間斷點,那么如果f(x)滿足封閉性方程:
(4),那么級數(5) 必然收斂於f(x),其中:
(6)。事實上,無論(5)時是否收斂,我們總有:
傅立葉級數傅立葉級數
成立,這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外,式(6)是很容易由正交性推出的,因為對於任意的單位正交基
,向量x在
上的投影總為

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