抽象群

抽象群的一般概念

一個集G，如果它不是空集，而且滿足以下四個條件，就叫做群：

①G中有一個閉合的結合法。這就是說，G中任意兩元a，b的結合c仍然是G中元。結合法通常寫成乘法，這時c又叫做a,b的積。一般用記號ab=c或a·b=c表示。要注意，積ab雖然是由a,b唯一決定的，但一般它還與a,b的順序有關。即ab不一定等於ba。

②G的結合法滿足結合律。也就是說，對於G中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。

③G中有一個（左）單位元e，對G中任意元a，有ea=a。事實上由於可以證明群的左單位元也是右單位元，因而一般把e就叫做單位元。

④對於G中任意元a，在G中有一個滿足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此處e就是上面的（左）單位元。實際上，可以證明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。

例題：設非空集合Z3表示這個數除以3後的餘數，a◎b表示a+b除以3的餘數，證明(Z3，◎)是一個群。

解：只要滿足I～IV這4個條件即可。

Z3中只有3個元素：0，1，2

先列出乘法表：

◎ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

I：根據乘法表可以看出◎是一個二元運算。

II：根據乘法表得出0是運算◎的單位元。

III：根據乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。

IV：容易證明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)

所以(Z3，◎)是一個群

設非空集合K3表示這個數除以3後的小數部分的第一位，a◎b表示a+b除以3後的小數部分的第一位，證明(K3，◎)是一個群。

①現代意義上的抽象群概念由法國天才數學家伽羅華（Eacute;variste Galois，1811-1832）最先建立起來。②群的定義有多種等價的表達形式，以這一種最為基本。

③一個非空集，若只滿足上面的條件①，則稱為乘集；若滿足條件①②，則稱為半群，這也是一個重要概念。

④若群的結合法還滿足交換律：ab=ba，則稱為交換群或阿貝耳（N.H.Abel，1802-1829）群。

⑤由一個元組成的群叫單位元群，元數是有窮的群叫有窮群，否則叫無窮群。群的元數記作|G|。