五次方程代數解

近代研究

拉格朗日的工作啟發了年輕的阿貝爾(挪威數學家)，中學時期就自學了許多名家的數學著作，進大學後，開始研究五次方程的代數解問題。1824年，他嚴格地證明了高於四次的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，這時他才22歲，尚未大學畢業，但沒有得到別人理解，將論文寄給高斯，也未引起注意，1826年才得以公開發表論文。阿貝爾只是證明了高於四次方程的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，沒有指出哪些特殊的方程存在代數解。這個問題後來被法國年輕數學家伽羅瓦所解決，伽羅瓦創設的理論給出了可解性判別準則，並因此而開闢了數學的新領域——群論。

存在問題

二次、三次、四次方程的根都可以用它的係數的代數式(即只含有限項的加、減、乘、除和開方五種代數運算的表達式)來表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個問題吸引了眾多的著名數學家，在300多年的時間裡，人們的各種嘗試都失敗了。17世紀時英國數學家格里高利曾提出猜測：對於n>4的一般n次方程是不能用代數方法求解的，但沒有人能夠證明這個結論。

到了18世紀下半葉，法國數學家拉格朗日總結分析了別人失敗的教訓，也意識到這種用代數方法求解五次方程的公式可能不存在，構想了一種理論上的利用根式求解方程的步驟，但還是碰了壁。

一般常常認為，一般的五次方程沒有公式解存在，這是不正確的。利用一些超越函式，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。不存在的應當是根式解（即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解）。另外，若我們只需要求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓疊代法）得到相當理想的解答。