丟番圖方程

丟番圖方程（Diophantine Equation）：有一個或者幾個變數的整係數方程，它們的求解僅僅在整數範圍內進行。最後這個限制使得丟番圖方程求解與實數範圍方程求解有根本的不同。丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；

基本介紹

• 中文名：丟番圖方程
• 外文名：Diophantine Equation
• 又名：不定方程、整係數多項式方程
• 分類：數學
• 提出：丟番圖
• 國家：希臘

定義

丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如下圖的方程，其中所有的、和c均是整數，若其中能找到一組整數解者則稱之有整數解。

丟番圖問題有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。

3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。

丟番圖方程

丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等。

歷史概述

丟番圖方程是數論中最古老的分支之一。 古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。 Diophantus，古代希臘人，被譽為代數學的鼻祖，流傳下來關於他的生平事跡並不多。今天我們稱整係數的不定方程為「Diophantus方程」，內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作，其中最有名的是《算術》，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組 (變數的個數大於方程的個數)或不定方程式 (兩個變數以上)。丟番圖只考慮正有理數解，而不定方程通常有無窮多解的。

研究不定方程要解決三個問題：1.判斷何時有解。2.有解時決定解的個數。3.求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《 張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。

丟番圖生平

代數之父─丟番圖（Diophantine）是一位古希臘的大數學家，為第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。 其中丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了：

「墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長鬍，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。

五年之後天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。

悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。 」

我們可以從中知道：“丟番圖的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又過了1/7才結婚，5年後生子，子先父4年而卒，壽為其父之半。”計算丟番圖的方程為X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X = 84，由此知道丟番圖享年84歲。

分析

希爾伯特第十問題

1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個算法能夠判定任何丟番圖方程式是否有解，甚至，在任何相容於皮亞諾算數的系統當中，都能具體構造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

現代研究

* 丟番圖集是遞歸可枚舉集。

* 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。

* 丟番圖逼近研究了變數為整數，但係數可為無理數的不等式。

國小分式解法

丟番圖是一個人，他的生命是一個整體1

他的生命一共經歷了以下一些關鍵點：

1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年，然後他死了

1/2是怎么得來的呢？因為他的孩子出生後，到他的孩子死了的這段時間，占丟番圖生命的一半，所以這段時間記為1/2，

綜上所述，他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年組成，那么問題很簡單了，就是你要知道這9年占據他一生的幾分之幾呢？

當然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)

因為從一開始就說了，丟番圖的生命是一個整體1

所以他的年齡有多大呢？反過來，就是

9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）

對括弧裡面的分式進行通分，很簡單就解出來了

明白了嗎？ 9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）=9除以（9/84），當然是84歲了。