不定方程式 indeterminate equation未知數個數多於方程個數，且對解有一定限制（比如要求解為正整數等）的方程。數論中最古老的分支之一。
基本介紹
- 中文名：不定方程式
- 外文名：indeterminate equation
- 別稱：丟番圖方程
- 有關形式：ax+by=c
定義,三個問題,發展歷史,形式,
定義
不定方程式
未知數個數多於方程個數，並且對解有一定限制（比如要求解為正整數等）的方程。數論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。
三個問題
研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數。③求出所有的解。
發展歷史
中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《 張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。
形式
二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數，ab ≠ 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。若a、b互素，即它們的最大公約數為1，(x0，y0)是所給方程的一個解， 則此方程的解可表為{(x=x0+bt，y=y0－at）|t為任意整數}。
S（≥2）元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n為整數，且a1…as≠0。此方程有整數解的充分必要條件是a1，…，as的最大公約數整除n。
一類特殊的二次不定方程是x2+y2=z2，其正整數解稱商高數或勾股數或畢達哥拉斯數，中國《周髀算經》中有“勾廣三，股修四，經隅五”之說，已經知道 （3，4，5）是一個解。劉徽在注《九章算術》中又給出了（5，12，13），（8，15，17）， （ 7，24，25），（20，21，29）幾組勾股數。它的全部正整數解已在16世紀前得到。另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整數。利用連分數理論知此方程永遠有解。
對高於二次的不定方程，相當複雜。當n>2時，xn+yn=zn沒有不等於零的整數解 ，即著名的費馬大定理 ，歷經3個世紀 ，已由英國數學家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。
不定方程是數學數論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的範圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多於方程的個數。
古希臘數學家丟番圖於三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程。1969年，莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果。
近年來，這個領域更有重要進展。但從整體上來說，對於高於二次的多元不定方程，人們知道得不多。另一方面，不定方程與數學的其他分支如代數數論、代數幾何、組合數學等有著緊密的聯繫，在有限群論和最優設計中也常常提出不定方程的問題，這就使得不定方程這一古老的分支繼續吸引著許多數學家的注意，成為數論中重要的研究課題之一。
