σ代數

在數學中，某個集合X上的σ代數（σ-algebra）又叫σ域 ，是X的所有子集的集合（也就是冪集）的一個子集。這個子集滿足對於可數個集合的並集運算和補集運算的封閉性（因此對於交集運算也是封閉的）。σ代數可以用來嚴格地定義所謂的“可測集”，是測度論的基礎概念之一。

基本介紹

• 中文名：σ代數
• 外文名：σ-algebra
• 類型：術語
• 用途：計算
• 屬性：數學

簡介

在數學中，某個集合X上的σ代數又叫σ域、完全加法類、可列加法類、σ加法類，是含有基本空間的σ環，是X的所有子集的集合（也就是冪集）的一個子集。

這個子集滿足對於可數個集合的並集運算和補集運算的封閉性（因此對於交集運算也是封閉的）。σ代數可以用來嚴格地定義所謂的“可測集”，是測度論的基礎概念之一。需要注意的是，雖然σ代數也稱做σ域，但是它是布爾代數。

直接定義

設г是由集合X中一些子集所構成的集合族(也叫做集類)，且滿足下述條件：

（1）X∈г；

（2）若A∈г，則A的補集A^c∈г；

（3）若AN∈г（N=1,2,…）則∪AN∈г；

我們稱г是一個σ代數。

間接定義

我們首先定義集代數，然後通過集代數定義σ代數。

X為集合，P(X)為其冪集，ω是P(X)的子集，且滿足

(1) X∈ω

(2) 如A∈ω，則A的補集∈ω

(3) 如A∈ω，B∈ω，則A∪B∈ω.

則稱ω為X上的集代數。

ω是X上的集代數，如ω還滿足：如果A_i∈ω，i=1,2,3,…,則，就稱ω是X上的σ代數。

發展歷程和意義

σ代數的概念大約起始於二十世紀的前三十年，它隨著測度論的發展而逐漸清晰。最著名的σ代數是關於實數軸測度的波萊爾σ代數（得名於法國數學家埃米·波萊爾），以及1901年亨利·勒貝格建立的勒貝格σ代數。而現代的測度理論的公理化體系就建立在勒貝格的相關理論之上。在這個領域中，σ代數不僅僅是用於建立公理體系，也是一個強有力的工具，在定義許多重要的概念如條件期望和鞅的時候，都需要用到。