盧津定理

盧津（Лузин）定理是實分析的定理。約略來說，這定理指可測函式差不多是連續函式。

基本介紹

• 中文名：盧津定理
• 屬於：實分析的定理
• 含義：可測函式差不多是連續函式

一維形式

設是可測函式，對任何，都存在緊緻集E，使得，而且f限制到E上是連續函式。此處是勒貝格測度。

證明

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函式。在開集上重定義f為0，那么f在[a,b]上有界，因而是可積函式。因為連續函式在可積函式的空間中稠密，存在連續函式序列依L範數收斂至f，即。故此有子序列幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，一致收斂至f。因為連續函式的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那么原本的f在E上連續。

多維形式

設是上的正則博雷爾測度，是可測函式。X是中的可測集，而且，那么對任意，X中存在緊緻集K，使得，而且f限制到K上是連續函式。

相關概念

實分析

實分析或實數分析是處理實數及實函式的數學分析。專門實數函式及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函式的微分及積分、連續性，光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函式概念定義等等開始。

可測函式

可測函式是可測空間之間的保持（可測集合）結構的函式，也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函式。數學分析中的不可測函式一般視為病態的。

如果Σ是集合X上的σ代數，Τ是Y上的σ代數，則函式f:X→Y是Σ/Τ可測的，如果Τ內的所有集合的原像都在Σ內。

根據慣例，如果Y是某個拓撲空間，例如實數空間R，或複數空間C，則我們通常使用Y上的開集所生成的波萊爾σ代數，除非另外說明。在這種情況下，可測空間(X,Σ)又稱為波萊爾空間。

如果從上下文很清楚Τ和Σ是什麼，則函式f可以稱為Σ可測的，或乾脆稱為可測的。