乘積σ代數

設(Ω,𝓕)及(Ω2,𝓕2)是兩個可測空間，由C作為空間Ω1×Ω2上的集類所生成的σ代數σ(C)稱為𝓕1與𝓕2的乘積σ代數。

基本介紹

• 中文名：乘積σ代數
• 外文名：product σ-algebra
• 適用範圍：數理科學

簡介

設(Ω,𝓕)及(Ω₂,𝓕₂)是兩個可測空間，令

由C作為空間Ω₁×Ω₂上的集類所生成的σ代數σ(C)稱為𝓕₁與𝓕₂的乘積σ代數，以𝓕₁×𝓕₂表示，而稱(Ω₁×Ω₂,𝓕₁×𝓕₂)為(Ω₁,𝓕₁)與(Ω₂,𝓕₂)的乘積空間。

推論

C中的元素稱為可測矩形，σ(C)=(𝓕₁×𝓕₂)中的元素稱為乘積空間中的可測集。

例如，若Ω₁和Ω₂都是直線(-∞,+∞)，𝓕₁和𝓕₂都是直線上的波萊爾集的全體，則𝓕₁×𝓕₂正是平面上的波萊爾集的全體。然而，當𝓕₁和𝓕₂都是直線上的勒貝格可測集時，𝓕₁×𝓕₂包含在平面上的勒貝格可測集類中，但確有平面上的勒貝格可測集不在𝓕₁×𝓕₂中。

σ代數

在數學中，某個集合X上的σ代數（σ-algebra）又叫σ域（σ-field），是X的所有子集的集合（也就是冪集）的一個子集。這個子集滿足對於可數個集合的並集運算和補集運算的封閉性（因此對於交集運算也是封閉的）。σ代數可以用來嚴格地定義所謂的“可測集”，是測度論的基礎概念之一。

需要注意的是，雖然σ代數也稱做σ域，但是它是布爾代數。