單調類定理

單調類定理是測度論和機率論的理論研究中的一個重要工具。該定理斷言：設Ω的子集類S是π系，Λ(S)是包含S的最小λ系，σ(S)是包含S的最小σ代數，則Λ(S)=σ(S)，因而任何包含S的λ系Λ均包含σ(S)。

基本介紹

• 中文名：單調類定理
• 外文名：monotone class theorem
• 所屬學科：數理科學
• 套用領域：測度論與機率論
• 相關定理：測度的唯一性定理等

定理介紹

設 為一集合， 是由子集組成的代數，且包含了 本身以及空集，那么存在包含 的最小單調類 ，這個 同時也是包含 的最小代數。

證明過程

證明:設 是所有包含 的單調類的交，即 若且唯若Y屬於每個包含 的單調類。我們留給讀者去驗證 也是包含 的單調類，從而由定義，它是這種單調類中最小的一個。

首先注意到只需證明 關於取余運算和有限並運算封閉，有了這兩個封閉性後，對 就是 中一單調遞增集列，由於 是單調類，從而它關於可列並運算是封閉的。另外，從公式

可以看出，如果 關於取余運算是封閉的，那么它一定包含其中元素的可列交，這樣 就成為 代數，再因為 代數一定是單調類，故 是包含 的最小代數。

接下來證明 關於有限並是封閉的，固定集合考查集族，因為 是代數，所以 )包含了 ，再取中任一遞增集列，顯然也是 中的遞增集列，由於 是單調類，

屬於 ，從而，類似地讀者可證明中遞減集可列交的封閉性，綜合這兩點，是包含 的單調類，最後再由以及 是包含的最小單調類這個事實，推得。

再取定 中任一元，考查，從上段討論中得知是的子集，再對這個新的幾乎完全重複上一小段的討論，就會發現它也是單調類，從而有，這樣就證明了 關於有限並的封閉性。

最後看一下取余運算的問題，令它顯然包含了， 因為 是代數，任取中一遞增集列是中的遞減集列，由於 是單調類，

屬於 。類似地，若為中任一遞減集列，那么是 中的遞增集列，從而

也屬於，再一次得到 ，從而證明了關於可列交和取余運算的封閉性。

測度的唯一性定理

作為單調類定理的套用，我們敘述測度的唯一性定理，它闡明了套用單調類定理的一種典型方法。

測度的唯一性定理：

設為一集合，是由的某些子集組成的代數，∑是包含的最小代數，令是強有限測度，即存在集列(不僅是)，使得每個的測度有限，並且，那么如果為另一測度並且在上與一致，則在整個∑上。