Kronecker delta

Kronecker delta，即克羅內克函式（又稱克羅內克δ函式、克羅內克δ、克羅內克符號）δij是一個二元函式，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函式的自變數（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

基本介紹

• 中文名：克
• 外文名：Kronecker delta
• 又稱：克羅內克δ函式、克羅內克δ
• 性質：是一個二元函式

克羅內克函式

在數學中，克羅內克函式（又稱克羅內克δ函式、克羅內克δ、克羅內克符號）δij是一個二元函式，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函式的自變數（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

克羅內克函式的值一般簡寫為δij。

克羅內克函式和狄拉克δ函式都使用δ作為符號，但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標，而狄拉克δ函式則只有一個變數。

其它記法

另一種標記方法是使用艾佛森括弧（得名於肯尼斯·艾佛森）：

同時，當一個變數為0時，常常會被略去，記號變為δi：

在線性代數中，克羅內克函式可以被看做一個張量，寫作 。

數位訊號處理

File:Unit impulse.gif 衝激函式

類似的，在數位訊號處理中，與克羅內克函式等價的概念是變數為 (整數)的函式：

這個函式代表著一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時，輸出的函式被稱為此單元的衝激回響。

性質

克羅內克函式有篩選性：對任意 ：

如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間，那么這個性質和狄拉克δ函式的定義是一樣的。

實際上，狄拉克δ函式是根據克羅內克函式而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定為連續的情況（狄拉克函式） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等變數一般是在 離散的情況下（克羅內克函式）。

線性代數中的套用

在線性代數中，單位矩陣可以寫作。

在看做是張量時（克羅內克張量），可以寫作 。

這個(1,1)向量表示:

作為線性映射的單位矩陣。 跡數。 內積 映射，將數量乘積表示為外積的形式。

推廣

以同樣的方式，可以定義類似的多變數函式：

這個函式取值為1若且唯若上方的指標全都等於對應的下方指標，否則值為0.

積分表示

對任意的整數n，運用標準的留數計算，可以將克羅內克函式表示成積分的形式：

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行，這個表示方式與下面的另一形式等價：

。