複數平面(高斯平面)

複數平面

高斯平面一般指本詞條

複數平面即是z=a+bi ,它對應的坐標為(a,b) .其中,a表示的是複平面內的橫坐標,b表示的是複平面內的縱坐標,表示實數a的點都在x軸上,所以x軸又稱為“實軸”;表示純虛數b的點都在y軸上,所以y軸又稱為“虛軸”。y軸上有且僅有一個實點即為原點"0"。

基本介紹

  • 中文名:複數平面
  • 外文名:complex plane
  • 公式:z=a+bi
  • 簡稱:複平面
  • x軸別稱:實軸
  • Y軸別稱:虛軸
簡介,特點,幾何表示,1.三角表示式,2.指數表示式,數學史,

簡介

數學中,複數平面(complex plane)是用水平的實軸與垂直的虛軸建立起來的複數的幾何表示。它可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面(實平面),一個複數的實部用沿著 x-軸的位移表示,虛部用沿著 y-軸的位移表示。
複數平面有時也叫做阿爾岡平面,因為它用於阿爾岡圖中。這是以讓-羅貝爾·阿爾岡(1768-1822)命名的,儘管它們最先是挪威-丹麥土地測量員和數學家卡斯帕爾·韋塞爾(1745-1818)敘述的。阿爾岡圖經常用來標示複平面上函式極點零點的位置。
圖1.複數平面圖1.複數平面
複平面的想法提供了一個複數的幾何解釋。在加法下,它們像向量一樣相加;兩個複數的乘法極坐標下的表示最簡單——乘積的長度或模長是兩個絕對值或模長的乘積,乘積的角度或輻角是兩個角度或輻角的和。特別地,用一個模長為 1 的複數相乘即為一個旋轉

特點

建立了直角坐標系來表示複數的平面叫做複平面,x軸叫做實軸,y軸除去原點的部分叫做虛軸,原點表示實數0,原點不在虛軸上。複平面內的每一個點,有唯一的一個複數和它對應,反過來,每一個複數,有複平面內唯一的一個點和它對應,所以複數集C和複平面內所有的點所成的集合是一一對應的。

幾何表示

1.三角表示式

的情況下,以正實軸為始邊,以表示
的向量
為終邊的角的弧度數
稱為
的輻角,記作
。這時有:
 任意一個複數
有無窮多個輻角。如果
是其中的一個,那么,
為任意整數),就給出了z的全部輻角。在(
)的輻角中,我們把滿足
稱為
主值
。當
時,
,而輻角不確定。 
利用直角坐標與極坐標的關係:
,把
表示成
稱為複數的三角表示式。

2.指數表示式

利用歐拉公式
,可以得到
,稱為複數的指數表達式。

數學史

17世紀時,英國數學家瓦里士已經意識到在直線上不能找到虛數的幾何表示。
1797年,挪威的測量學家維塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向的解析表示,特別套用於平面與球面多邊形的測定》,首先提出把複數用坐標平面上的點來表示,使全體複數與平面上的點建立了一一對應關係,形成了複平面概念。但當時沒有受到人們的重視。
1806年,日內瓦的阿工在巴黎發表的論文《虛量,它的幾何解釋》,也談到了複數的幾何表示法。他用“模”這個名詞來表示向量的長度,模這術語就源出於此。
偉大的德國數學家高斯是近代數學的奠基人之一,在歷史上影響之大,可以和阿基米德、牛頓、歐拉並列。他在1799年已經知道複數的幾何表示,在1799年、1815年、1816年對代數基本定理作出的三個證明中,都假定了複數和直角坐標平面上的點一一對應,但直到1831年他才對複平面作出詳細的說明。他說:“迄至目前為止,人們對於虛數的考慮,依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念,以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把+1、-1、i 叫做正一、負一和虛一,而稱之曰向前一,反向一和側向一,那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失。”此後,人們才接受了複平面的思想,有些人還把複平面稱為高斯平面。 
利用複數的幾何表示法,複數又可以用坐標平面上的向量來表示,兩個複數相加可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行,一個複數乘以i(或-i)相當於表示此複數的向量逆(或順)時針旋轉90。這就使得物理上的許多向量:力、速度、加速度等等,都可以藉助於複數來進行計算,使複數成為物理學和其他自然科學的重要工具。

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