雙曲型偏微分方程

雙曲型偏微分方程

雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現象的一類重要的偏微分方程。雙曲型偏微分方程解可以分解為振動與振動相乘,或指數函式與指數函式相乘的形式,一般能量無窮。

基本介紹

  • 中文名:雙曲型偏微分方程
  • 外文名:Hyperbolic partial differential equations
  • 性質:偏微分方程
  • 特點:描述振動或波動現象
基本介紹,介定,性質,

基本介紹

雙曲型偏微分方程簡稱雙曲型方程,是偏微分方程的一種類型。它主要用於描述振動、波動現象與相應的運動過程。它的一個典型特例是波動方程和n=1時的波動方程。可用來描述弦的微小橫振動,稱為弦振動方程。這是最早得到系統研究的一個偏微分方程。

介定

雙曲型方程主要是按偏微分方程的係數特性來介定的。當自變數個數或方程的階數不同時,雙曲型方程可以有不同的定義方式。
二階線性偏微分方程
對於二階線性偏微分方程
其中,
,則若係數矩陣
在某點
的慣性指數為一正
負,或一負
正,就稱該方程在
點為雙曲型的。如果該偏微分方程在區域
中每一點都是雙曲型的,則稱該方程在
中為雙曲型的。如果一個二階偏微分方程在
點為雙曲型的,則可以通過自變數變化將方程在這一點的主部
化為
這時變數
也常記為 t,稱為時間變數
高階偏微分方程
對於高階偏微分方程的情形,為了敘述簡明,以下僅對時間方向已確定的情形討論。在變數
變化的區域
中給定 m 階偏微分方程
(1)
其中,k是非負整數,
是 n 重指標,若在
,對任意的
,特徵方程
有 m 個不同的實根,則稱上述高階方程為雙曲型方程。
相應地,可以通過自變數的坐標可以定義關於任意方向的雙曲型方程。按上述方式定義的雙曲型方程強調了特徵方程有 n 個單重實根,它也稱為嚴格雙曲型方程 (strictly hyperbolic equation)或稱完全雙曲型方程,彼得洛夫斯基意義下單雙曲方程。

性質

雙曲型方程最重要的性質是其柯西問題的適定性。有時人們也用此來作為雙曲型方程定義的基礎,所以在高階方程的情形,也有將雙曲型方程定義為:若存在常數
,使得對每個
,包括低次項的關於變數
的方程
的解必滿足
,則稱方程(1)為雙曲型方程。這個定義比前一個定義要弱。可以證明,在這樣的定義下,雙曲型方程柯西問題的適定性仍成立。按這種定義,一個雙曲型方程的特徵多項式可以允許有多重實根出現,而且方程是否為雙曲型與該方程的低階項有關。
對於非線性雙曲型方程,雙曲型的定義一般要依賴於所考察方程的解。非線性雙曲型方程柯西問題光滑的存在性一般只能是局部的。它的解在有限時間內會產生奇性。

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