偏微分方程特徵理論

偏微分方程特征理論是偏微分方程論的一個基本概念。它對研究解的存在、唯一性及其他性質（例如奇性傳播）都有重要的意義。

簡介

基本特徵

特徵是偏微分方程論的一個基本概念。它對研究解的存在、唯一性及其他性質（例如奇性傳播）都有重要的意義。

柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理

解析情況的柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理是偏微分方程論中的第一個普遍的存在定理。以m階線性偏微分方程為例,這個定理是說，對於柯西問題 中分別是其復變元在原點附近的解析函式，x=(x1,x2,…,xn),有唯一的在原點附近解析的解存在。這定理也適用於非線性的，以及方程組的情形。但是,都要求未知函式對t的最高階導數已經解出。

也可以考慮初始條件不是給在超平面 t=0上而是給在一般的解析超曲面S：φ(t，x1,x2,…,xn)=0上的情況。這裡φ是(t，x)在(0,0)附近的解析函式，而且為了方便,設φt≠0。這時可以作變數變換τ=φ(t,x1,x2,…,xn)，yj=xj，j=1,2,…，n,柯西問題(1)、(2)將變為 為了套用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理,應該要求在S:=0上有 (3)

特徵的定義

將上述討論移到一般的m 階線性偏微分運算元P(x,Dx)上,這裡P(x，Dx)是的多項式，其象徵為P(x,ξ)，主象徵為Pm(x,ξ)。為了方便,記t為x0,x=(x0,x1,…,xn)相應於(3)的結果是：對於超曲面有如果一個超曲面φ(x)=0(grad φ≠0)適合 (4)

則稱它是P 的特徵超曲面。

如果不是在x空間的某區域U 中討論（4）式而是在U×(\0)中討論它,即討論Pm(x，ξ)=0,這裡ξ∈，ξ≠0，可以給出一個相應的定義：運算元P(x，Dx)的特徵集為 對於超曲面φ（x）=0,（gradφ ≠0）,其上每一點都有一個法線向量 。如果把超曲面上一點與該點的法線向量合起來成為一個接觸元素,那么特徵曲面就是其一切接觸元素均屬於特徵集的超曲面。

對於非線性方程也可以利用與 (4)式相似的關係式來定義其特徵。不過，這時定義特徵的式子中將含有未知函式u，所以只能討論當u為某一函式u=u0(x)時，φ=0是否相應的特徵超曲面。

次特徵

(4)式並非的某一區域U中的一階偏微分方程。但若考慮相應的一階偏微分方程 (5)

則(5)也有自己的特徵，即常微分方程組 (6)

的積分曲線。這個積分曲線稱為P的次特徵。

方程組(6)有一重要性質,即Pm(x,ξ)是其初積分。事實上,若Г:x=x(t),ξ=ξ(t)是次特徵，則沿著Г,Pm(x(t),ξ(t))=常數:因此，若以 為初始值解(6)，而且設(x0,ξ0)是特徵元素,則過(x0,ξ0)的次特徵上全是特徵元素:。所以在求P的特徵超曲面時,可以用特徵線法解出一階偏微分方程(5)（見一階偏微分方程）,即用次特徵“織”成一個超曲面,只要初始元素是特徵元素，則所得必是特徵超曲面。適合一定條件的特徵超曲面都可以這樣求得。若解其達布問題，就可以得到特徵角面。以上都是在(x，ξ)空間中考慮的。

如果在(x，ξ)空間考慮,並視ξ為一向量,(x，ξ)就成為x空間中x點處的接觸元素。這樣,(6)的解將稱為P的次特徵帶,它在x空間的投影稱為次特徵曲線。一切適合於一定條件的特徵超曲面都是由次特徵曲線“織”成的。

特徵的性質

講解

仍用t記x0，表示時間；x=(x1，x2,…,xn)表示空間。φ(t，x)=0在(t,x)空間中表示一個超曲面，而在x空間中則表示隨時間t在x=(x1,x2,…,xn)空間中運動的超曲面。

設m階線性偏微分方程的解u在超曲面S上有弱間斷，即u及其直到m-1階導數均在S附近連續，而m 階導數在 S上有第一類間斷。其躍度記為μ，若以u 在S上的直到m-1階導數為初值解Pu=0的柯西問題，則在S的兩側得到不同的解，即以S為支柱時柯西問題失去了唯一性。可以證明, 這時 S必定是特徵超曲面。總之，線性偏微分方程解的弱間斷面必定是特徵超曲面。

物理解釋

上述情況可以從物理上加以解釋。視Pu=0的解為一個波。若在超曲面S：φ(x，t)=0之一側u呏0,而在另一側u扝0,則S是波前。因為在S的“前方”，即u呏0的一側，一切都是平靜的，表示在該時刻波還沒有傳播到這個區域；S的另一側u扝0,表示該區域在該時刻已受到波的擾動影響。所以在x空間中隨時間運動的超曲面S正描述了波前在x空間中的傳播。

作相應於運算元P的次特徵曲線,並記其上的參數（即(6)的自變數t）為s,則Pu=0的解u的m階導數的躍度μ適合所謂傳輸方程 A是運算元P決定的函式。因此 由(7)可知，若 μ(0)=0（或μ(0)≠0），則沿著整個次特徵曲線恆有μ=0（或μ≠0）。這就是說，解的間斷沿次特徵曲線傳播。特徵超曲面表示波前;這裡又看到,次特徵曲線表示光線。通過特徵理論，可以看到物理光學的基本概念波前與幾何光學的基本概念光線這兩者的緊密聯繫。(見雙曲型偏微分方程、哈密頓－雅可比理論)

解的奇異性

偏微分方程解的間斷，是解的奇異性情況之一。在C∞理論框架下，常用解 u的奇支集sing suppu來刻畫解的奇異性。解的奇性傳播問題，就是討論sing suppu的傳播問題。這是線性偏微分運算元理論的基本問題之一。這方面最基本的結果,簡言之，仍是Pu=ƒ的解u之奇性沿次特徵傳播。 　若運算元P沒有實特徵，即P為橢圓運算元,則Pu=ƒ的解當ƒ∈C∞時也應屬於C∞。（C.H.）H.外爾在1940年對拉普拉斯運算元證明了這個結果。後來，L.施瓦爾茨對一般C∞係數橢圓運算元也證明了這個結果。但是橢圓性只是這個結果成立的充分條件，因此將具有這一性質(當ƒ∈C∞時，Pu=ƒ之解u∈C∞,稱為亞橢圓性)的運算元分為一類稱為亞橢圓運算元。亞橢圓性的研究也是線性偏微分運算元理論的基本問題之一。非線性偏微分方程解的奇異性問題要複雜得多，但是特徵理論在其中也起基本的作用。