閉區域

閉區域(closed region)是指簡單閉曲線及它的內部，構成“平面閉區域”。類似地，可定義空間閉區域。也稱區域與它的邊界的並集稱為閉區域。區域(region)是幾何學的基本概念之一，如果一個平面圖形(封閉圖形，不包含其內部)能將平面上不屬於圖形上的點分為若干個部分，使得同一部分任意兩點可以用一條與圖形無公共點的折線連結，不同部分的任意兩點不能用與圖形無公共點的折線連結，那么這個平面的每個部分都稱為一個區域，該圖形稱為區域的邊界。如果某一個區域的任意兩點可以用與該圖形無公共點的線段連結，那么這個區域稱為凸區域。例如，一直線分平面為兩個凸區域，兩相交直線分平面為四個凸區域，三角形分平面為兩個區域，其中只有一個凸區域(三角形的內部)。一個區域連同它的邊界稱為閉區域。

基本介紹

• 中文名：閉區域
• 外文名：Closed Region
• 所屬學科：數學（幾何學）
• 相關概念：區域、連通、開集、開區域等

定義

定義1

連通的開集稱為開區域，簡稱區域。開區域連同其邊界所構成的集合稱為閉區域。

定義2

區域和它的邊界構成的區域稱為閉區域，記為。若區域可以被包含在一個以原點為中心的圓內，則稱是有界的；否則稱為無界的。

相關概念

平麵點集

有限個點或無限個點的集合稱為點集，複平面上的點集可視為複數的集合。

鄰域

複平面上以為中心，以為半徑的圓的內部點(包括或不包括)的集合，即滿足不等式

或

的點的集台，稱為的鄰域。

開集

若平麵點集中每一個點至少存在一個鄰域全部包含於內，則稱為開集。

連通

若平麵點集中任何兩點，都可用完全屬於的一條折線連線起來，則稱是連通的。

區域的定義

若平麵點集滿足如下兩條件：

1. 是開集；

2. 是連通的。

那么，稱為區域。

簡單曲線與閉曲線

簡單曲線

設連續曲線，如果對於內的任意，對應有，那么稱此曲線C是簡單曲線。

閉曲線

設連續曲線，如果，那么稱曲線C是閉曲線。

閉曲線的內部與外部

簡單閉曲線將複平面分為兩個區域：

1. 被閉曲線C包圍的有界域稱C的內部；

2. 不被閉曲線C包圍的無界域稱C的外部。

單連域與多連域

單連域

如果在區域D內任作的簡單閉曲線的內部全都包含在D內，那么稱D為單連域。

多連域

不是單連域的區域稱為多連域。

常見的區域

表1 常見的區域

區域	不等式
圓域
角形域
帶形域
圓環域	（復連通域）

閉區域上多元連續函式的性質

與閉區間上一元連續函式的性質相似，在有界閉區域上多元連續函式有如下重要性質。

有界性定理

有界閉區域D上的多元連續函式必定在D上有界。

最大值和最小值定理

有界閉區域D上的多元連續函式在D上一定存在最大值和最小值。

介值定理

有界閉區域D上的多元連續函式必定能在D上取得介於它的最大值與最小值之間的任何值。