開區間(數學用語)

開區間(數學用語)

本詞條是多義詞,共2個義項
更多義項 ▼ 收起列表 ▲

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合(不包含給定的兩點),用(a,b)來表示(不包含兩個端點a和b)。開區間的實質仍然是數集,該數集用符號(a,b)表示,含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數,但不包含a和b。相當於{x|a<x<b},記作(a,b) 取值不包括a、b。

基本介紹

  • 中文名:開區間
  • 外文名:open interval
  • 性質:數學用語
  • 意義:與閉區間相對
  • 形式:所有點的集合
  • 學科:數理科學
區間,定義,區別,連續函式,

區間

在數學裡,區間通常是指這樣的一類實數集合:如果x和y是兩個在集合里的數,那么,任何x和y之間的數也屬於該集合。例如,由符合0 ≤ x ≤ 1的實數所構成的集合,便是一個區間,它包含了0、1,還有0和1之間的全體實數。其他例子包括:實數集,負實數組成的集合等。
區間在積分理論中起著重要作用,因為它們作為最"簡單"的實數集合,可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。然後,"測度"的概念可以拓,引申出博雷爾測度,以及勒貝格測度
區間也是區間算術的核心概念。區間算術是一種數值分析方法,用於計算捨去誤差。
區間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S,使得若x和y均屬於S,且x<z<y,則z亦屬於S。例如整數區間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個集合。
通用的區間記號中,圓括弧表示“排除”,方括弧表示“包括”。例如,區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數,但不包括10或20。另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之間的實數,以及10和20。而當我們任意指一個區間時,一般以大寫字母 I 記之。有的國家是用逗號來代表小數點,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替。

定義

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合(不包含給定的兩點),用(a,b)來表示(不包含兩個端點a和b)。
開區間的實質仍然是數集,該數集用符號(a,b)表示,含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數,但不包含a和b。相當於{x|a<x<b},記作(a,b) 取值不包括a、b。

區別

開區間指的是區間邊界的兩個值不包括在內;(a,b)
閉區間指的是區間邊界的兩個值包括在內。[a,b]
半開半閉區間:開區間一邊的邊界值不包括在內,而閉區間一邊的邊界值包括在內。[a,b)、(a,b]
如下:
[a,b] a<=x<=b 取值包括a、b
(a,b)a<x<b 取值不包括a、b
[a,b) a<=x<b 取值包括a,不包括b
(a,b] a<x<=b 取值不包括a,包括b

連續函式

設函式f(x)在閉區間[a,b ]上連續,則有
(1) f(x)在閉區間[a,b ]上有界,即存在M>0,x∈ [a,b ],有| f(x)|≤ M。
(2) f(x)在閉區間[a,b ]上取到最大值與最小值,即存在 x1、x2∈ [a,b ],使f(x1)=m,f(x2)=M,且 任意 x∈ [a,b ],有m≤ f(x)≤ M。
(3)任意Y∈ [m,M],存在 c∈ [a,b ],使f(c)=Y。
(4)f(x)在閉區間[a,b ]上一致連續。
當在開區間(a,b)上時,相關結論如下:
(1)若f(x)在開區間(a,b)上連續,且f(a+ 0),f(b-0)存在,則① f(x)在(a,b)上有界;② f(x)在(a,b)上一致連續。
(2)若f(x)在開區間(a,b)上連續,且f(a+ 0),f(b-0)存在,①若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a,b)上的上界,則f(x)在(a,b)上取得最大值。②若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a,b)上的下界,則f(x)在(a,b)上取得最小值。
(3)若f(x)在開區間(a,b)上連續,f(x)在(a,b)取到最小值m與最大值M,則 任意 Y∈ [m,M],存在c∈ [a,b ],使f(c)=Y。
微分中值定理是利用導數研究函式在區間上的整體性態的有利工具。《高等數學》教材中的幾個微分中值定理都建立在閉區間上,利用導數研究開區間上函式的整體性態,常先轉化到閉區間,再利用中值定理加以解決。然而微分中值定理的條件是充分條件,在開區間上定義的函式只要滿足相應的性質,就有可能使微分中值定理的結論成立。
引理:
設(a,b)為有限或無窮區間,,f( x)在( a,b)內可導,
,則至少存在一點
,使
定理 1 若函式 f 滿足如下條件:
1)f 在(a,b)內可導,其中(a,b)為有限開區間;
2)
則(a,b)內至少存在一點 c,使得
定理二:若函式 f 與 g 滿足如下條件:
1)f 、g在(a,b)內可導,其中(a,b)為有限開區間;
2)
,且
,則(a,b)內至少存在一點 c,使得

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們