貝爾數

在組合數學裡,貝爾數給出了集合劃分的數目,以數學家埃里克·坦普爾·貝爾(Eric Temple Bell)命名,是組合數學中的一組整數數列。

以B0= B1=1為始, 首幾項的貝爾數為:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …(OEIS的A000110數列

基本介紹

  • 中文名:貝爾數
  • 外文名:Bell number
  • 提出者:埃里克·坦普爾·貝爾
  • 套用學科組合數學
  • 適用領域範圍:數學
  • 適用領域範圍:數列
定義,公式,貝爾三角形,程式,

定義

Bn基數n集合劃分數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族,它們的並是S。例如B3 = 5因為3個元素的集合{a, b, c}有5種不同的劃分方法:
  • {{a}, {b}, {c}}
  • {{a}, {b, c}}
  • {{b}, {a, c}}
  • {{c}, {a, b}}
  • {{a, b, c}}
B0是1因為空集
正好有1種劃分方法。劃分的定義要求空集的劃分中的每個成員都是非空集合,而它們的並是
本身。所以
是它自身的唯一划分。(這是定義所允許的因為

公式

貝爾數適合遞推公式:
它們也適合“Dobinski公式”:
期望值為1的泊松分布的''n''次
它們也適合“Touchard同餘”:若p是任意質數,那么
每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和
Stirling數S(n, k)是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。
把任一機率分布的n次矩以首n個累積量表示的多項式,其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。
貝爾數的指數母函式

貝爾三角形

用以下方法建構一個三角矩陣(形式類似楊輝三角形):
(1) 第一行第一項是1(a_{1,1} = 1)
(2) 對於n>1,第n行第一項等同第n-1行最後一項。(
(3) 對於m,n>1,第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。(
結果如下:(OEIS的A011971數列)
每行首項是貝爾數。
這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。

程式

計算貝爾數的程式如下:(VC++環境下調試通過)
#include<iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
unsigned __int64 c(int n,int m){
if(m>n/2)
m=n-m;
int i;
unsigned __int64 a=1,b=1;
for(i=n;i>n-m;i--)
a*=i;
for(i=2;i<=m;i++)
b*=i;
return a/b;
}
unsigned __int64 bell(int n){
unsigned __int64 t=0;
int i;
if(n==0)
return 1;
else{
for(i=0;i<=n-1;i++)
t+=c(n-1,i)*bell(i);
}
return t;
}
int main(){
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
printf("%I64u\n",bell(n));
return 0;
}

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