把一個集合劃分成 6 塊的歐拉圖表示。在數學中，集合 X 的劃分是把 X 分割到覆蓋了 X 的全部元素的不交疊的“部分”或“塊”或“單元”中。更加形式的說，這些“單元”關於被劃分的集合是既全無遺漏又相互排斥的。
基本介紹
- 中文名：集合劃分
- 外文名：set partitioning
- 對象：集合
- 表示： 6 塊的歐拉圖
- 方法：劃分
- 特點：無遺漏等
定義,例子,劃分和等價關係,
定義
等價的說，X 的子集的集合 P 是 X 的劃分，如果
沒有 P 的元素是空集。(NB - 某些定義不需要這個要求) P 的元素的並集等於 X。(我們稱 P 的元素覆蓋 X。) P 的任何兩個元素的交集為空。(我們稱 P 的元素是兩兩不相交。) P 的元素有時叫做劃分的塊或部分。
當我們說“集合”這個概念時，劃分的思想已經存在了。當我們說給定一個集合時，也就給定了該集合的補集。一個集合與它的補集就已經構成了一個劃分。因此說上面的定義是再次劃分的定義。可以說劃分和定義是一個概念。原始定義也就是初始劃分。原始定義和公理又是一個概念。給定一個公理也就是給定一個劃分。
例子
所有單元素集合 {x} 都有精確的一個劃分就是 { {x} }。 對於任何集合 X，P = {X} 是 X 的一個劃分。 空集有精確的一個劃分，就是沒有塊的劃分。 對於集合 U 的任何非空真子集 A，A 和它的補集一起是 U 的一個劃分。 如果我們不使用前面定義中的公理 1，則上述例子可以推廣為任何(空和非空)子集與它的補集一起是一個劃分。 集合 { 1, 2, 3 } 有五個劃分。 { {1}, {2}, {3} }，有時指示為 1/2/3。 { {1, 2}, {3} }，有時指示為 12/3。 { {1, 3}, {2} }，有時指示為 13/2。 { {1}, {2, 3} }，有時指示為 1/23。 { {1, 2, 3} }，有時指示為 123。 注意 如果我們使用了前面定義中的公理 1，則 { {}, {1,3}, {2} } 不是一個劃分(因為它包含空集)；否則它是 {1, 2, 3} 的一個劃分。 { {1,2}, {2, 3} } 不是(任何集合的)一個劃分，因為元素 2 包含在多於一個不同的子集中。 { {1}, {2} } 不是 {1, 2, 3} 的一個劃分，因為沒有塊包含 3；但它是 {1, 2} 的一個劃分。
