諾伊曼問題

在數學中，諾伊曼（或第二類）邊界條件是一種邊界條件，以Carl Neumann命名。當施加在普通偏微分方程或偏微分方程時，條件規定了在域的邊界內套用解的導數的值。

可以使用其他邊界條件來描述問題：狄利克雷邊界條件指定邊界上的解本身（與其導數相反）的值，而柯西邊界條件，混合邊界條件和羅賓邊界條件都是不同的諾伊曼和狄利克雷邊界條件的組合類型。

基本介紹

• 中文名：諾伊曼問題
• 外文名：Neumann problem
• 領域：數學
• 別名：第二邊值問題
• 對象：調和函式
• 相關術語：狄利克雷邊界條件

人物介紹

卡爾·戈特弗里德·諾依曼（也是卡爾; 1832年5月7日 - 1925年3月27日）是德國數學家。

諾伊曼出生於普魯士的科尼斯堡，是科尼斯堡大學礦物學家，物理學家和數學家弗朗茨·恩斯特·諾伊曼（Franz Ernst Neumann）（1798-1895）的礦物學和物理學教授。卡爾·諾依曼（Carl Neumann）在科尼斯堡（Hönigsberg）和哈雷（Halle）學習，並曾在哈雷，巴塞爾，杜賓根和萊比錫的大學擔任教授。

在科尼斯堡，他和父親一起學習物理學，後來作為一名工作的數學家，幾乎完全處理了物理學的問題。 諾伊曼受到黎曼的電動力學研究的推動，發明了一種基於電動力學有限傳播的理論，感興趣的是威廉·愛德華·韋伯和魯道夫·克勞修斯，他與他進行了通信。韋伯描述了紐曼在萊比錫的教授，他說：“更高的力學，基本上包括數學物理學”，他的講座是這樣做的[1]麥克斯韋提到了韋伯和諾依曼在“電磁場動力學理論導論”（1864）中開發的電動理論。

諾伊曼從事狄利克雷定理，可以被認為是積分方程理論的發起者之一。諾伊曼級數，類似於幾何級數：

對無限矩陣的條件下的原理是以他命名而來的。

與Alfred Clebsch Neumann一起創立了數學研究雜誌Mathematische Annalen。他死在萊比錫。

某些類型的普通和偏微分方程的諾伊曼邊界條件以他命名。

調和函式

在區域上滿足拉普拉斯方程的多元函式.設F(x₁，x₂，…，x_n)是定義在區域D⊂R上的具有二階連續偏導數的函式，且F在區域D上滿足下述的拉普拉斯方程：

則稱F是區域D上的調和函式，或者說F在區域D上是調和的。稱：

為拉普拉斯運算元。一個復值函式的實部與虛部都是在區域D上調和的，有時也稱它是區域D上的(復值)調和函式。如果F(z)=F(x+iy)是復變數z=x+iy的解析函式(在複平面的某個開集內)，那么F的實部u和虛部v作為(x，y)的二元實函式都是調和函式，它們滿足所謂的柯西-黎曼方程：

這樣的一對調和函式稱為是彼此共軛的。當n≥2時，若u₁，u₂，…，u_n都是區域D⊂R上的調和函式，且滿足下述偏微分方程組：

則稱(u₁，u₂，…，u_n)是區域D上的一個共軛調和函式系。調和函式與傅立葉級數的關係密切。

定義

諾伊曼問題(Neumann problem)亦稱第二邊值問題。調和函式的一類重要邊值問題。設在區域D的邊界∂D上給定了一個連續函式φ(z)，在D內求一個調和函式u(z)，要求它具有連續到邊界的一階偏導數，且在∂D上的外法嚮導數∂u/∂n等於φ(z).對於給定的D及其邊界上的給定函式φ(z)，若滿足要求的u(z)存在，則可以相差一個實常數。

對二階橢圓型方程求邊界上的法嚮導數為已知的解。設Ω為R中的有界域，它的邊界由有限個光滑曲面Γ所構成.對於偏微分方程：

求在閉域Ω上連續、在Ω的邊界Γ上滿足條件：

的解的問題稱為諾伊曼問題或者第二邊值問題。如果c(x)<0，那么諾伊曼問題的解是惟一的。如果c(x)≡0，那么諾伊曼問題的解除附加常數外惟一確定。特別地，拉普拉斯方程的諾伊曼問題Δu=0在Ω中，∂ u/∂ ν=0在Γ上的解除附加常數外惟一確定。

邊值問題的概念

在微分方程中，邊值問題是一個微分方程和一組稱之為邊界條件的約束條件。邊值問題的解通常是符契約束條件的微分方程的解。

物理學中經常遇到邊值問題，例如波動方程等。許多重要的邊值問題屬於Sturm-Liouville問題。這類問題的分析會和微分運算元的本徵函式有關。

在實際套用中，邊值問題應當是適定的（即，存在解，解唯一且解會隨著初始值連續的變化）。許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程套用的許多邊值問題都是適定問題。

最早研究的邊值問題是狄利克雷問題，是要找出調和函式，也就是拉普拉斯方程的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。

根據條件的形式，邊值條件分以下三類：

• 第一類邊值條件：也稱為狄利克雷邊界條件，直接描述物理系統邊界上的物理量，例如振動的弦兩端與平衡位置的距離；
  
• 第二類邊值條件：也稱為諾伊曼邊界條件，描述物理系統邊界上物理量垂直邊界的導數的情況，例如導熱細桿端點的熱流；
  
• 第三類邊值條件：物理系統邊界上物理量與垂直邊界導數的線性組合，例如，細桿端點的自由冷卻，溫度、熱流均不確定，但是二者的關係確定，即可列出二者線性組合而成的邊值條件。